MPSI B Année 2019-2020. DS 7 le 06/03/20 24 avril 2020
Problème
Soit p ∈ N xé, p ≥ 2. On note F = Cp et (e1,· · · , ep) la base canonique du C-espace vectorielF :
e1= (1,0,· · ·,0), e2= (0,1,0,· · · ,0), · · ·, ep= (0,· · · ,0,1).
On noteu= (1,1,· · ·,1) =e1+· · ·+ep et on dénitQ+⊂Rp⊂F par :
∀x= (x1,· · · , xp)∈Rp, x∈ Q+ ⇔(∀i∈J1, pK, xi>0). On considère un endomorphismef ∈ L(F)déni par
f(e1) = (a11, a12,· · ·, a1p)∈ Q+ f(e2) = (a21, a22,· · ·, a2p)∈ Q+
...
f(ep) = (ap1, ap2,· · · , app)∈ Q+
et vériantf(u) =u.
Un tel endomorphisme est dit stochastique. L'objet de ce problème est d'introduire au théorème de Perron-Frobenius qui porte sur les suites de puissances de ces endomorphismes.
Partie I. Boîte à outils.
1. Propriétés def.
a. Soitz= (z1,· · · , zp)∈F. Préciser lep-upletf(z)∈Cp. b. Montrer que∀(i, j)∈J1, pK
2, aij >0 et que
∀j∈J1, pK, a1j+a2j+· · ·+apj = 1.
2. Soitλ∈ Cavec|λ| <1 et k∈ J0, p−1K xé. La suite complexe nk λn
n≥p est-elle convergente ? Quelle est sa limite ?
3. Ici, aucun raisonnement par l'absurde ou par contraposition ne sera lu.
Soitλ1,· · ·, λp des réels strictement positifs tels que λ1+· · ·+λp= 1. a. Soitµ1,· · ·, µp réels. Montrer que
(∀i∈J1, pK, µi≥0)⇒ max(µ1,· · · , µp) min(λ1,· · ·, λp)≤λ1µ1+· · ·+λpµp.
En déduire
∀i∈J1, pK, µi≥0 λ1µ1+· · ·+λpµp= 0
)
⇒µ1=· · ·=µp= 0.
Déduire de la question précédente que
∀i∈J1, pK, µi≤1 λ1µ1+· · ·+λpµp= 1
)
⇒µ1=· · ·=µp= 1.
b. Soitu1,· · · , up complexes. Montrer que
∀i∈J1, pK, |ui| ≤1 λ1u1+· · ·+λpup= 1
)
⇒u1=· · ·=up= 1.
Partie II. Valeurs propres complexes.
On dénit la notion de vecteur propre et de valeur propre def.
Un nombre complexeλest une valeur propre si et seulement si il existew∈F tel que w6= 0E etf(w) =λw.
On dit alors quewest un vecteur propre de valeur propreλ. On dénit des partiesN etBdeCp=F par :
∀w= (z1,· · · , zp)∈F,
(w∈ N ⇔max(|z1|,· · ·,|zp|) = 1.
w∈ B ⇔max(|z1|,· · ·,|zp|)≤1.
1. Dans le casp= 2. En identiantR2 au plan usuel, dessinerN ∩R2 etB ∩R2. 2. Montrer que1est une valeur propre. On noteS l'ensemble des valeurs propres.
3. On veut montrer que le module d'une valeur propre est inférieur ou égal à1.
a. Soitwun vecteur propre de valeur propre λ. Montrer que pour, toutµ non nul dansC, le vecteur µwest encore propre. Quelle est sa valeur propre ?
b. Montrer queBest stable parf, c'est à dire que :∀w∈F, w∈ B ⇒f(w)∈ B. c. Soitwun vecteur non nul. Comment choisirµ >0 pour queµw∈ N? d. Conclure.
4. Soitλune valeur propre de module1.
a. Montrer qu'il existe un vecteur proprew= (z1,· · ·, zp)∈ N de valeur propreλ. b. En faisant jouer un rôle spécique à un indice particulier j tel que |zj| = 1,
montrer que tous leszi sont égaux entre eux et queλ= 1. c. Montrer que ker(f −IdF) = Vect(u).
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S1907E
MPSI B Année 2019-2020. DS 7 le 06/03/20 24 avril 2020
Partie III. Hyperplan supplémentaire stable.
1. Soitg∈ L(F).
a. Montrer1 quedim(kerg)≤dim(kerg2)≤2 dim(kerg).
b. Montrer queImg⊕kerg=F ⇔Img= Img2⇔kerg= kerg2. 2. Montrer que sidim ker(f−IdF)2
≥2, il existev∈ Btel que f(v)6=v et
∀n∈N, fn(v) =v+n(f(v)−v).
En déduireker(f −IdF)2= ker(f −IdF).
3. Montrer queIm(f −IdF)est un hyperplan supplémentaire deVect(u). On le noteH. Montrer queH est stable parf.
4. a. Soitϕ et ψ deux formes linéaires non nulles sur F et de même noyau. Montrer qu'il existe un réelλtel queψ=λϕ.
b. Montrer qu'il existe une forme linéaire γ telle que H = kerγ avec γ(u) = 1. Montrer queγ◦f =γ.
c. Soitv∈F. Quelle est la projection de vsurVect(u)parallèlement àH?
Partie IV. Convergence.
Pour v ∈ F, on considère la suite de vecteurs (fn(v))n∈
N. L'objet de cette partie est d'établir une propriété de cette suite en notant
fn(v) = vn1, vn2,· · · , vnp .
Il faut bien garder à l'esprit que dans la notation vkn, l'exposantk ne représente pas une puissance mais un numéro de coordonnée.
1. Soitλ6= 1 une valeur propre etv∈ker(f−λIdF)p. Montrer que, pour toutk∈J1, pK, la suite complexe vkn
n∈Nconverge vers0. 2. Soitλune valeur propre telle que ker(f −λIdF)p⊂H. Montrer que|λ|<1. 3. On admet2 qu'il existe un ensemble de valeurs propres{λ1,· · ·, λr} tel que
H = ker(f−λ1IdF)p+· · ·+ ker(f−λrIdF)p Montrer que, pour toutv∈F et toutk∈J1, pK, la suite vnk
n∈N converge versγ(v).
1La partie droite de cet encadrement ne servira pas dans le reste du problème.
2c'est une conséquence simple d'un théorème du cours de deuxième année.
Exercice
Soitmetndeux entiers naturels tels quem >2et 0<2n < m. On noteJ =J0, mK SoitA=Xn+an−1Xn−1+· · ·+a1X+a0. On denit une applicationf de Rm[X] dans R[X] par
∀P ∈Rm[X], f(P) =AP0−P A0.
On utilisera aussi un intervalle ouvertI deRqui ne contient pas de racine deA. 1. a. Vérier quef est linéaire et déterminerp= max{deg(S), S∈Imf, S6= 0}.
b. SoitQ∈R[X]tel queQA∈Rm[X]. Déterminerf(QA).
c. En utilisant une formule de dérivation surI, déterminerkerf. En déduirergf. 2. Pour tout élémentideJ, on poseYi=f(Xi).
a. Montrer que la famille de polynômes(Yi)i∈J\{n} est une base de l'image def. b. En calculantf(A), déterminer les coordonnées deYn dans cette base.
3. a. Pour touti∈J, préciserdeg(Yi). En déduiremin{deg(S), S∈Imf, S6= 0}. b. Pour toutS ∈Rp[X], on noteRS le reste de la division de S parA2.
Montrer queRS = 0⇒S∈Imf. En déduireS ∈Imf ⇔RS∈Imf. Déterminer la valeur maximale dedegRS.
4. a. SoitP ∈Rm[X]et S=f(P). Déterminer l'ensemble des primitives surI de AS2. b. En déduire une primitive de AYi2 pour tout élémenti∈J.
5. Dans cette question,m >6et A=X3−X+ 1. a. CalculerY0, Y1, Y2.
b. Montrer queS=X4+ 4X3−2X2−2X−1∈Imf.
c. Sans chercher à décomposer en éléments simples, déterminer une primitive de X4+ 4X3−2X2−2X−1
(X3−X+ 1)2 .
d. Donner une condition nécessaire et susante sur les réels a, b, c, d, e pour que aX4+bX3+cX2+dX+e∈Imf.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
2 Rémy Nicolai S1907E
