Partie II - Un problème d’optimisation

SESSION 2011

Concours commun Centrale

MATHÉMATIQUES 2. FILIERE PC

Partie I - Questions préliminaires

I.A - Généralités sur les matrices orthogonales

I.A.1)SoitA∈ Oⁿ(R). Alors^tAA=In puis(detA)²=det(^tAA) =det(In) =1et finalement det(A)∈{−1, 1}.

SiA∈ O⁺n(R), alors detA > 0 puis detA=1 et siA∈ O⁻n(R), alors detA < 0puis detA= −1.

I.A.2) Le produit de deux matrices orthogonales négatives est une matrice orthogonale positive et n’est donc pas une matrice orthogonale négative. DoncO⁻n(R)n’est pas un sous-groupe de(On(R),×).

I.A.3) Chaque colonne d’une matrice orthogonale est unitaire pour k k2. En particulier, le carré de chaque coefficient d’une matrice orthogonale est inférieur ou égal à1puis la valeur absolue de chaque coefficient d’une matrice orthogonale est inférieure ou égale à1.

I.B - Un exemple numérique

I.B.1)α₁=2e⁰,α₂=2e^iπ/4,β₁=e^iπ/3 etβ₂=e^2iπ/3 puis, pour tout réelθ

f(θ) =

e^iπ/3−2e^iθ

2

+

e^2iπ/3−2eⁱ(θ+^π4)

2

=1−4Re

eⁱ(θ−^π3)

+4+1−4Re

eⁱ(θ−^5π12) +4

=10−4

cos θ− π

3 +cos

θ−5π

12

=10−8cosπ 24

cos

θ− 3π 8

.

I.B.2) Puisque cosπ 24

> 0, cette expression est minimale si et seulement si cos

θ− 3π 8

= 1 ce qui équivaut à θ∈ 3π

8 +2πZ. Le minimum defest égal à2.

1 2

−1

−2

1 2

−1

−2

b

b

b

b b

b

X₁ X2

Y1

Y2

r0=rotation de centreOet d’angle 3π 8 r=rotation de centreOet d’angleθ kY1−r0(X1)k²+kY2−r0(X2)k²=2

kY₁−r(X₁)k²+kY₂−r(X₂)k²>2 r⁰(X¹

r )

0(X

2)

b

b

r(X¹ ) r(X²)

Partie II - Un problème d’optimisation

II.A - Un produit scalaire matriciel

II.A.1)Pour toutM= (m_i,j)16i6n, 16j6m∈M_n,m(R)et toutN= (n_i,j)16i6n, 16j6m∈M_n,m(R), (M, N) =tr((^tM)N) = X

16i6n, 16j6m

m_i,jn_i,j.

(, )est donc le produit scalaire canonique surM_n,m(R)et en particulier,(, )est un produit scalaire surM_n,m(R) II.A.2)SoitW∈ Mn(R).

kWX−Yk²F= X

16j6n, 16i6m

(WX−Y)²_j,i= Xm

i=1



 Xn

j=1

(WX−Y)²_i,j



= Xm

i=1



 Xn

j=1

(WX_i−Y_i)²_j





= Xm

i=1

kWX_i−Y_ik²2.

II.A.3)SoientW∈ Oⁿ(R)et(M, N)∈(M^n,m(R))².

hWM, WNiF=tr((^t(WM))WN) =tr(^tM^tWWN) =tr(^tMN) =hM, NiF, et en particulier,

kWMkF=kMkF. II.A.4)SoientW∈ On(R)et(M, N)∈(Mn,m(R))².

hMW, NWiF=tr((^t(MW))NW) =tr(^tW^tMNW) =tr(W^tW^tMN) =tr(^tMN) =hM, NiF, et en particulier,

kMWkF=kMkF. II.B -

II.B.1)SoitW∈ On(R).

kWkF=p

tr(^tWW) =p

tr(In) =√ n.

II.B.2)Pour tout entierp∈N, on a^tM_pM_p=I_n. Donc, pour chaque(i, j)∈J1, nK², Xn

k=1

(M_p)_k,i(M_p)_k,j=δi,j.

Quandptend vers+∞, on obtient Xn

k=1

(M)_k,i(M)_k,j=δi,j pour chaque(i, j)∈J1, nK² ou encore^tMM=In. Par suite, M∈ On(R).

Ainsi, toute suite convergente d’éléments deOn(R)converge dansOn(R)et doncOn(R)est une partie fermée deMn(R).

II.B.3)D’après la question II.B.1), pour tout élémentW∈ On(R),kWkF=√

n. Par suite,On(R)est une partie bornée deMn(R)carOn(R)est contenu dans la boule fermée de centre0et de rayon√

npourk kF.

En résumé, Oⁿ(R) est une partie fermée et bornée de Mⁿ(R). Puisque dimMⁿ(R) < +∞, le théorème de Borel- Lebesguepermet d’affirmer queOⁿ(R)est une partie compacte deMⁿ(R).

II.C -

II.C.1)Soient f : Mn(R) → R Z 7→ kZX−YkF

, g : Mn(R) → Mn,m(R) Z 7→ ZX−Y

et h : Mn,m(R) → R M 7→ kMkF

. g est linéaire et dim(Mn(R)) < +∞. On sait alors que g est continue sur Mn(R). D’autre part, il est connu que l’application est continue surMn,m(R)(car ∀(M, n)∈(Mn,m(R))², |kNkF−kMkF| 6kN−MkF). Donc f= h◦g est continue surMn(R).

Ainsi,fest continue sur le compactOn(R)à valeurs dansR. On sait alors quefadmet un minimum surOn(R)ou encore

∃W∈ On(R)/ ∀Z∈ On(R),kWX−YkF6kZX−YkF. II.C.2)SoitW∈ Oⁿ(R). D’après la question II.A.3),

kWX−Yk²F=kWXk²F−2hWX, YiF+kYk²F=kXk²F−2hWX, YiF+kYk²F, et donckWX−YkFest minimum si et seulement sihWX, Yi^Fest maximum.

II.C.3)SoitW∈ On(R).

hWX, Yi^F=tr((^t(WX))Y) =tr(^tX^tWY) =tr(^tWY^tX) =hW, Y^tXi^F. Donc,

∀W∈ On(R), hWX, YiF=hW, Y^tXiF. II.D -

II.D.1)SoitW∈ Oⁿ(R).

hW, ∆iF=tr(^tW∆) = Xn

i=1

Wi,i∆i,i6 Xn

i=1

|Wi,i| |∆i,i|6 Xn

i=1

|∆i,i|,

Soit alors W^′ = diag(εi)_16i6n où, pour 1 6 i 6 n, εi =

1si∆i,i>0

−1si∆i,i< 0 . W^′ est une matrice orthogonale car ses colonnes sont unitaires et deux à deux orthogonales (pour le produit scalaire canonique) ethW^′, ∆iF=

Xn

i=1

|∆_i,i|.

On a donc trouvé ne matrice orthogonaleW^′ telle que∀W∈ On(R),hW, ∆iF6hW^′, ∆iF. On a montré au passage que le maximum dehW, ∆iFquandW décritOn(R)est

Xn

i=1

|∆_i,i|.

II.D.2)SoitW∈ Oⁿ(R). En reprenant le calcul précédent

hW, ∆iF= Xn

i=1

|∆_i,i|⇔ Xr

i=1

W_i,i∆_i,i= Xr

i=1

∆_i,i

⇔ Xr

i=1

(1−Wi,i)∆i,i=0

⇔∀i∈J1, rK, (1−W_i,i)∆_i,i=0(car tous le termes de la somme sont positifs)

⇔∀i∈J1, rK, Wi,i=1(car les∆i,i, 16i6r, sont tous non nuls).

Les matrices W ∈ On(R) telles que ∀i ∈ J1, rK, Wi,i = 1 sont nécessairement de la forme

Ir 0r,n−r

0n−r,r W1

où W1 ∈ On−r(R)et réciproquement, une telle matriceW est bien une matrice orthogonale car ses colonnes sont unitaires et deux à deux orthogonales.

En résumé, le maximum est atteint en les matricesW^′ de la forme

I_r 0r,n−r

0n−r,r W1

,W₁∈ O^n−r(R).

II.E -

II.E.1)En particulier,W^′ =I_n est un élément deOn(R)maximisanth^tQWP, ∆iF. SoitW∈ On(R). D’après les questions II.A.3) et II.A.4),

hW, AiF=hW, Q∆^tPiF=h^tQWP,^tQQ∆^tPPiF=h^tQWP, ∆iF.

Par suite, hW, AiF est maximal quand ^tQWP = In ou encore quand W = Q^tP. Q^tP est effectivement une matrice orthogonale en tant que produit de deux matrices orthogonales. De plus, det(Q^tP) = detP×detQ et donc Q^tP ∈ O⁺n(R)⇔detP×detQ > 0.

II.E.2)Si det(A)> 0, en particulier aucun des∆i,i,1 6i6n, n’est égal à 0. 0 n’est pas valeur propre de Aet donc, avec les notations de la question II.D.2), on a r =n. Dans ce cas, d’après la question II.D.2), il existe une et une seule matriceW^′∈ On(R)maximisanthW^′, Inifà savoir la matriceIn.

CommehW, AiFest maximal si et seulement sih^tQWP, ∆iFest maximal ce qui équivaut àW=Q^tP. Ceci assure l’unicité d’un élément deO⁺n(R)maximisanthW, AiF. Maintenant, det(A) =detP×detQ×

Yn

i=1

∆_i,i. Comme les∆_i,i, 16i6n, sont positifs et non nuls,

Yn

i=1

∆_i,i> 0puis detP×detQ > 0 ou encoreQ^tP∈ O⁺n(R). Ceci assure l’existence d’un élément deO⁺n(R)maximisanthW, AiF.

II.E.3)Cette fois-ci,r6n−1. D’après la question II.D.2), la matriceW^′ =diag(1, . . . , 1| {z }

n−1

,−1)convient.

II.E.4)Si∆n,n6=0, alors∆1,1>. . .>∆n,n> 0et en particulier, detA=detP×detQ× Yn

i=1

∆i,i6=0. Par contraposition, si detA=0, alors∆n,n=0. D’après la question précédente, la matrice diag(1, . . . , 1

| {z }

n−1

,−1)maximisehW^′, ∆iF,W^′∈ On(R).

Mais alors, d’après la question II.E.1), la matriceQdiag(1, . . . , 1

| {z }

n−1

,−1)^tP maximisehW, AiF,W∈ On(R). De plus,

det



Qdiag(1, . . . , 1| {z }

n−1

,−1)^tP



= −detP×detQ > 0, et doncQdiag(1, . . . , 1| {z }

n−1

,−1)^tPest un élément deO⁺n(R)maximisanthW, AiF,W∈ On(R).

Partie III - Une décomposition matricielle

III.A -

III.A.1)Best un élément deM^p(R).^tB=^tM^t(^tM) =^tMM=B. DoncBest une matrice symétrique réelle. D’après le théorème spectral, on sait que le polynôme caractéristique deBest scindé surRet queBest orthogonalement semblable à une matrice diagonale.

III.A.2)SoitV∈ Mp,1(R). AlorsMV∈ Mn,1(R)puis

tVBV=^tV^tMMV=^t(MV)MV =kMVk²2>0.

Soit alorsλ∈Rune valeur propre deBpuisV₀∈ Mp,1(R)\ {0}un vecteur propre associé.

tV₀BV₀=λ^tV₀V₀=λkV₀k²2.

Ainsi,λkV₀k²2>0 et donc, puisquekV₀k²2> 0, on en déduit que λ>0. On a montré que les valeurs propres deBsont des réels positifs.

III.A.3)SoitV∈ Mp,1(R).

•V∈kerM⇒MV =0⇒^tMMV =0⇒BV =0⇒V∈kerB.

•V∈kerB⇒BV =0⇒^tMMV=0⇒^tV^tMMV=0→^t(MV)MV=0→kMVk²2=0⇒MV =0⇒V∈kerM.

Finalement, kerB=kerM. Mais alors, avec les notations de la question suivante, le théorème du rang permet d’affirmer que

rg(B) =rg(g) =p−dim(ker(g)) =p−dim(ker(f)) =rg(f) =rg(M) =r.

III.B -

III.B.1)On munit Rⁿ etR^pde leur produit scalaire canonique. Chaque ui=f 1

µi

vi

,6i6p, est dans Im(f).

Soit(i, j)∈J1, rK².

u_i.u_j= 1 µiµj

f(v_i).f(v_j) = 1 µiµj

t(MV_i)MV_j= 1 µiµj

tViBVj= λ_j µiµj

tViVj

= µj

µi

vi.vj= µj

µi

δi,j =δi,j.

Ainsi,(u_i)_16i6rest une famille orthonormée de Im(f). Puisque d’autre part, card(ui)_16i6r=r=dim(Im(f)), la famille (u_i)_16i6rest une base orthonormée de Im(f).

III.B.2)On complète la famille orthonormée(u_i)_16i6rdeRⁿ en une base orthonormée(u_i)_16i6n deRⁿ.

On noteQ la matrice de passage de la base canonique deRⁿ à la base (u_i)_16i6n et Pla matrice de passage de la base canonique de R^p à la base (v_i)_16i6p. PuisqueP etQ sont des matrices de passage d’une base orthonormée à une autre base orthonormée,P etQsont des matrices orthogonales, de formatpetnrespectivement.

Pour16i6r, on af(v_i) =µiuiet pourr+16i6p, on af(v_i) =0. La matrice defrelativement aux bases(u_i)_16i6n et(v_i)_16i6pest donc∆. Comme d’autre part, la matrice defrelativement aux bases canoniques deR^petRⁿ est M, les formules de changement de bases fournissentQ⁻¹MP=∆ou encore

M=Q∆P⁻¹=Q∆(^tP).

Partie IV - Sur la trace des matrices orthogonales

IV.A -

IV.A.1)SoitW∈ On(R).

tr(W) = Xn

i=1

Wi,i6 Xn

i=1

|W_i,i|6 Xn

i=1

1=n,

avec égalité effectivement obtenue siW=In. Donc la trace maximale d’un élément deOn(R)estn.

IV.A.2) Soitλ une éventuelle valeur propre de w. Par définition, λ est un réel et il existe x∈ E\ {0} tel que wx= x.

Puisquewest un automorphisme orthogonal,

kxk=kwxk=kλxk=|λ|kxk,

et puisque kxk 6= 0, il reste |λ| = 1 puis λ ∈ {1,−1}. Donc les seules valeurs propres possibles d’un automorphisme orthogonal sont1et −1.

IV.A.3)SoitW∈ O⁻n(R). PuisqueWest une matrice à coefficients réels, on sait que sizest une valeur propre non réelle deW, alorszest aussi valeur propre deWavec même ordre de multiplicité. Le spectre de West donc de la forme

(1, . . . 1

| {z }

α

,−1, . . . ,−1

| {z }

β

, z1, z1, . . . , zγ, zγ

| {z }

2γ

),

ouα,βet γsont des entiers naturels tels queα+β+2γ=netz1, . . . ,zγ sont des nombres complexes non réels.

Avec la convention qu’un produit vide est égal à1, on a−1=det(W) = (−1)^β Yγ

k=1

|z_k|²et donc (−1)^β = − 1 Yγ

k=1

|z_k|²

< 0

puisβest un nombre impair. En particulier,βn’est pas nul ou encore−1 est valeur propre deW.

IV.A.4)Soitw∈ O(E)puisFun sous-espace deEstable parw. Par définition,w(F)⊂F. Commewest un automorphisme, on a de plus dim(w(F)) =dim(F)<+∞et doncw(F) =F.

Soitx∈F^⊥. Soity∈F. Puisquew(F) =F, il existey^′∈F tel quew(y^′) =ypuis w(x).y=w(x).w(y^′) =x.y^′ =0.

Ainsi, pour touty∈F,w(x).y= 0et donc w(x)∈F^⊥. On a montré que pour toutx deF^⊥,w(x)∈F^⊥ et doncF^⊥ est stable parw.

IV.A.5)SoitW∈ On⁻(R). On munitRⁿ de son produit scalaire canonique.

Soit w l’endomorphisme de Rⁿ canoniquement associé à W. Puisque la matrice de w dans une base orthonormée est orthogonale, on sait quewest un automorphisme orthogonal deRⁿ.

D’après la question IV.A.3), −1 est valeur propre de w. Soient e1 un vecteur propre unitaire associé à la valeur propre

−1puisF=Vect(e1).F est stable parwet doncF^⊥ est stable parw. On note(e2, . . . , en)une base orthonormée deF^⊥. AlorsB= (e₁, e2, . . . , en)est une base orthonormée deRⁿ et la matrice dewdans cette base est de la forme

W^′ =

−1 01,n−1

0n−1,1 W1

,W1∈ Mn−1(R).

La restrictionw₁dewàF^⊥est un endomorphisme deF^⊥qui conserve le produit scalaire et doncw₁est un automorphisme orthogonal deW₁.W₁est la matrice dew₁dans la base orthonormée(e₂, . . . , e_n)et doncW₁est une matrice orthogonale.

Ensuite,WetW^′sont les matrices dewdans des bases orthonormées et donc les matricesWetW^′ sont orthogonalement semblables. En résumé, il existeP1∈ Oⁿ(R)etW1∈ Oⁿ(R)telles que

W=P1

−1 01,n−1

0n−1,1 W1

tP1. Enfin,−1=det(W) = (−1)×det(W1)et donc det(W1) =1 ou encoreW₁∈ O⁺n(R).

IV.A.6) Soit W ∈ O⁻n(R). Avec les notations de la question précédente, W et W^′ sont semblables et ont donc même trace. Par suite, d’après la question IV.A.1),

tr(W) =tr

−1 01,n−1

0n−1,1 W1

= −1+tr(W1)6−1+n−1=n−2,

avec égalité effectivement obtenue en prenant W =

−1 01,n−1

0n−1,1 In−1

∈ On⁻(R). La trace maximale d’un élément de O⁻n(R)est doncn−2.

IV.B -

IV.B.1)SoitW^′∈ On⁻(R).

hW^′, ∆iF= Xn

i=1

∆i,iW_i,i^′ = Xn

i=1

(∆n,n+∆i,i−∆n,n)W_i,i^′

=∆n,ntr(W^′) +

n−1X

i=1

(∆_i,i−∆n,n)W_i,i^′ .

Pouri∈J1, n−1K, on aW_i,i^′ 61et ∆i,i−∆n,n>0. Par suite,(∆i,i−∆n,n)W_i,i^′ 6∆i,i−∆n,n. D’autre part, d’éaprès la question IV.A.6), tr(W^′)6n−2et donc∆n,ntr(W^′)6(n−2)∆n,n carδn,n>0. Finalement

=hW^′, ∆iF6(n−2)∆_n,n+

n−1X

i=1

(∆_i,i−∆n,n) =

n−1X

i=1

∆i,i

!

−∆n,n, avec égalité effectivement obtenue en prenantW^′ =diag(1, . . . , 1| {z }

n−1

,−1)∈ O⁻n(R).

Donc, la matriceW^′ =diag(1, . . . , 1

| {z }

n−1

,−1)∈ O⁻n(R)maximisehW^′, ∆iF. IV.B.2)Mais alors, comme à la question II.E.1), la matriceQ×diag(1, . . . , 1| {z }

n−1

,−1)×^tPest un élément deOn⁺(R)maximisant hW, AiF.

Partie V - Calcul numérique

V.A - Étude d’une suite de réels V.A.1)Instructions en MAPLE.

x[0] :=0.1 ;

for k from 0 to 29 do

x[k+1] :=x[k]∗((x[k])∧2+3)/(3∗(x[k])∧2+1) od ;

V.A.2)Pourx>0, posonsf(x) =x x²+3

3x²+1.fest dérivable sur[0,+∞[et pourx>0, f^′(x) = (3x²+3)(3x²+1) −6x(x³+3x)

(3x²+1)² = 3x⁴−6x²+3

(3x²+1)² = 3(x²−1)² (3x²+1)².

fest dérivable sur[0,+∞[et f^′ est strictement positive sur[0,+∞[\{1}. Doncfest strictement croissante sur[0,+∞[.

Soitx∈[0,+∞[.

f(x) −x=xx²+3

3x²+1 −x= x(x²+3−3x²−1)

3x²+1 = 2x(1−x²) 3x²+1 .

Ainsi, pourx∈]0, 1[,f(x) −x > 0et pourx∈]1,+∞[,f(x) −x < 0. Enfin, fadmet exactement deux points fixes à savoir 0et 1.

On peut alors étudier la suite (x_k)_k∈N. Soitx0 > 0. Puisque la fonction f est définie sur ]0,+∞[ et que ]0,+∞[est un intervalle stable parf, la suite(x_k)_k∈Nest définie et strictement positive.

1er cas.Six0=1, la suite(xk)k∈N est constante.

2ème cas.On suppose quex₀∈]0, 1[. Si pourk>0, on a0 < x_k< 1, alors puisquefest strictement croissante sur]0, 1[, f(0)< f(x_k)< f(1)ou encore 0 < x_k+1< 1. On a montré par récurrence que six₀∈]0, 1[, alors ∀k∈N, 0 < x_k < 1.

Mais alors, l’étude du signe de f(x) −x permet d’affirmer que pour tout k ∈N, x_k+1−x_k = f(x_k) −x_k > 0. La suite (x_k)_k∈N est strictement croissante.

3ème cas.On suppose quex0∈]1,+∞[. Dans ce cas, la suite(x_k)_k∈Nest strictement décroissante et minorée par1.

1

1 2

x₀ x₀ x₀

y=x

y=f(x)

V.A.3)Puisquefest continue sur[0,+∞[et que[0,+∞[est un fermé contenant tous lesxk,k∈N, on sait que si la suite (xk)k∈N converge, sa limite est égale à0ou1.

1er cas.Six₀=1, la suite(x_k)_k∈N est constante et en particulier convergente de limite1.

2ème cas.Six0∈]0, 1[, la suite(xk)k∈Nest croissante et majorée par1. Donc la suite(xk)k∈Nconverge. Sa limite est un élément de{0, 1}∩[x0, 1]et donc lim

k→+∞

xk=1.

3ème cas.Si x₀∈]1,+∞[, la suite (x_k)_k∈Nest décroissante et minorée par1. Donc la suite (x_k)_k∈Nconverge. Sa limite est un élément de{0, 1}∩[[1,+∞[et donc lim

k→+∞

x_k=1.

Dans tous les cas, la suite(x_k)_k∈Nconverge et a pour limite1.

V.B - Étude d’une suite de matrices

V.B.1) Soit Z ∈ Mn(R). D’après la question III.A.2), les valeurs propres λ₁, . . . , λ_n de ^tZZ sont des réels positifs.

Comme les valeurs propres de 3^tZZ+I_n sont 3λ₁+1, . . . , 3λ_n+1, les valeurs propres de 3^tZZ+I_n sont strictement positives. En particulier,0n’est pas valeur propre de 3^tZZ+In et donc 3^tZZ+In est une matrice carrée inversible.

V.B.2)• P0est vraie.

•Soitk∈N. SupposonsPk. ^tZkZk=PDktQQDktP=PD²_k^tPet donc

Zk+1=QDktP(PD²_k^tP+3In)(3PD²_k^tP+In)⁻¹=QDktPP(D²_k+3In)^tP P(3D²_k+In)^tP⁻¹

=QDk(D²_k+3In)^tPP(3D²_k+In)^−1tP=QDk(D²_k+3In)(3D²_k+In)^−1tP

En posantD_k+1= D_k(D²_k+3I_n)(3D²_k+I_n)⁻¹, on obtientZ_k+1 =QD_k+1^tP. De plus,D_k est une matrice diagonale à coefficients strictement positifs. On en déduit queDk+1est une matrice diagonale à coefficients strictement positifs.

Le résultat est démontré par récurrence.

V.B.3)Pourk∈N, posonsDk=diag

λ^(k)₁ , . . . , λ^(k)n

. Pour touti∈J1, nK

λ⁽⁰⁾_i > 0et et pour toutk∈N,λ^(k+1)_i =λ^(k)_i

λ^(k)_i 2

+3 3

λ^(k)_i 2

+1

=f λ^(k)_i

.

D’après la question V.A.3), chaque suite λ^(k)_i

k∈Nconverge vers1. Mais alors la suite(D_k)_k∈Nconverge vers la matrice diag(1)16i6n = I_n. Puisque la fonctionM7→QM^tPest continue surMn(R), on en déduit encore que la suite(Z_k)_k∈N

converge vers la matriceQI_n^tP=Q^tP.

V.C - Une application

V.C.1) • L’application g : Y 7→ Y(^tX) est linéaire de Mn,m(R) dans Mn(R) et dim(Mn,m(R)) < +∞. Donc g est continue sur Mn,m(R). D’autre part, l’application h : M 7→ det(M) est continue sur Mn(R). Donc l’application f=h◦g : Y7→det(Y(^tX))est continue surMn,m(R).

•f(Y₀) =det(W₀X^tX) =det(W0)×det(X^tX). D’après la question III.A.3), rg(X^tX) =rg(^t(^tX)^tX)rg(^tX) =rg(X) =n.

La matriceX^tXest une matrice carrée de formatnet de rangn. On en déduit queX^tX∈ GLⁿ(R)et donc det(X^tX)6=0.

Comme d’autre part, les valeurs propres deX^tXsont des réels positifs d’après la question III.A.2), on a aussi det(X^tX)>0.

En résumé,

f(Y0) =det(X^tX)> 0.

•Soitε=f(Y₀)> 0. Puisquefest continue enY0, il existeα > 0tel que siY est dans la boule ouverte de centreY0et de rayonα, f(Y) −f(Y₀)>−ε ou encoref(Y)> f(Y₀−ε =0. La boule ouverte de centreY0et de rayonαest un ouvertU tel que, pour toutY∈ U, det(Y^tX) =f(Y)> 0.

V.C.2)Soient Y ∈ U puisA=Y^tX. Pour tout Y ∈ U, on a det(A)> 0. D’après la partie II et en particulier la question II.E.2), on sait que la matriceApeut s’écrireQ∆^tPoùPetQsont deux matrices orthogonales et∆une matrice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs, et aussi que

Xm

i=1

kWX_i−Y_ik²2est maximale quand W=Q^tP∈ O⁺n(R).

On prend Z0 = A = Y^tX = Q∆^tP. La suite (Z_k)_k∈N tend alors vers Q^tP qui est une matrice orthogonale positive maximisant

Xm

i=1

kWX_i−Y_ik²2,W∈ On(R).