comme valeur propre

Réduction des opérateur compacts symétriques

Leçons 203, 205, 208, 213 Salim Rostam

22 mai 2014

Soit (H,h·,·i) un espace de Hilbert (de dimension infinie) et soit T ∈ L(H) un opérateur compact symétrique non nul.

Théorème. Il existe une base hilbertienne deHformée exclusivement de vecteurs propres deT, l’ensemble de ces vecteurs associés à une valeur propre non nulle de T étant au plus dénombrable. De plus, si(e_n) désigne cette dernière famille et (λ_n) les valeurs propres correspondantes alors on peut réordonner cette famille de sorte que(|λ_n|) décroisse vers 0. En outre, ∀x∈ H on a T x=^P_nλnhx, e_nie_n.

En s’inspirant de la démonstration par récurrence en dimension finie, on va tout d’abord prouver queT possède un vecteur propre.

1 L’opérateur T

admet kT k

comme valeur propre

Soit x ∈ H non nul ; le vecteur x est un vecteur propre de T² associé à la valeur propre kTk² si et seulement siT²x− kTk²x

2 = 0. De plus :

T²x− kTk²x² =T²x²+kTk⁴kxk²−2kTk²RehT²x, xi

=T²x²+kTk⁴kxk²−2kTk²RekT xk² carT est symétrique

≤2kTk²kTk²kxk²− kT xk²

On sait quekTk= sup_kxk=1kT xk : ainsi, on peut trouver une suite (x_n) de vecteurs deHde norme 1 telle quekT x_nk → kTk. D’après l’inégalité précédente, on obtient donc :

T²x_n− kTk²x_n² →0 (1) Or, l’opérateur T est compact et (xn) est bornée donc quitte à extraire on peut supposer que (T x_n) converge, vers un vecteury. Ainsi, comme T est continu (car borné sur la boule unité car compact), T²x_n→T y et (1) fournit donckTk²x_n→T y. Comme T est non nul, on peut en conclure que (xn) converge vers x := _kT^{T y}_k2, qui est non nul puisque de norme 1 (carkx_nk= 1). Encore par (1) on obtient alorsT²x=kTk²x; comme x6= 0 on en déduit que xest vecteur propre de T² associé à la valeur propre kTk².

1

2 L’opérateur T admet kT k ou −kT k comme valeur propre

On vient de voir que l’on peut trouver x ∈ H non nul tel que (T²− kTk²)x = 0 ; posonsy:= (T− kTk)x. Deux cas se présentent :

– siy = 0 alors on a (T− kTk)x= 0 i.e.x est un vecteur propre de T associé à la valeur propre kTk (carx est non nul) ;

– sinon, y6= 0 donc commeT²− kTk² = (T+kTk)(T− kTk) on a (T+kTk)y= 0 i.e.y est un vecteur propre deT associé à la valeur propre −kTk.

Finalement, on a montré queT admetkTkou −kTkcomme valeur propre.

3 Récurrence

Initialisation. Posons T₁ := T 6= 0 ; d’après la section précédente, on peut trouver λ1 ∈ {−kT₁k,kT₁k}valeur propre de T1. Ainsi, commeT est compact ker(T−λ1) est de dimension finie et donc est fermé, d’où :

H= ker(T −λ₁)⊕^⊥ker(T −λ₁)^⊥

avecT|_ker(T−λ1)=λ₁id. Il suffit donc d’étudier l’opérateurT sur ker(T−λ₁)^⊥. Ainsi, on considère l’opérateurT2:=T|_ker(T−λ

1)^⊥.

Si T₂ est nul on arrête le processus, et sinonT₂ est non nul donc on peut appliquer le résultat de la section précédente à l’opérateurT₂ : il existe donc λ₂ ∈ {−kT₂k,kT₂k}

valeur propre deT2. Bien sûr, comme T2 part de l’espace ker(T−λ1)^⊥ on a λ2 6=λ1. De plus, comme T₂ est la restriction de T₁ à un sous-espace, on a kT₂k ≤ kT₁k autrement dit|λ₂| ≤ |λ₁|. Finalement, comme auparavant on a la décomposition :

H= ker(T−λ₁)⊕ker(T−λ₂)⊕^⊥[ker(T −λ₁)⊕ker(T −λ₂)]^⊥

Récurrence. Pourk≥2, on suppose avoir construit une famille (λn)_1≤n≤k de valeurs propres non nulles deT deux à deux distinctes et décroissante en module ; on noteT_k+1:=

T|

[^⊕k_i=1ker(T−λ_i)]^⊥. SiT_k+1= 0 on s’arrête, sinonT_k+16= 0 et on peut appliquer le résultat de la section précédente à l’opérateurTk+1. On trouve ainsi une valeur propre non nulle λ_k+1 ∈ {−kT_k+1k,kT_k+1k} de T; comme ^h⊕^k_i=1ker(T −λ_i)^i⊥ ⊆ ^h⊕^k−1_i=1 ker(T −λ_i)^i⊥, l’opérateurT_k+1est la restriction à un sous-espace deT_k, en particulierkT_k+1k ≤ kT_kki.e.

|λ_k+1| ≤ |λ_k|. Finalement, comme l’ensemble de départ deT_k+1 est^h⊕^k_i=1ker(T −λi)^i⊥ on aλ_k+1∈ {λ/ ₁, . . . , λ_k} et l’hérédité est démontrée.

4 Conclusion

4.1 Cas où la récurrence ne s’arrête pas

On dispose alors d’une suite infinie de valeurs propres non nulles deux à deux distinctes (λ_n)_n∈N^∗ décroissante en module.

2

La suite (λn) tend vers0. Comme la suite (|λ_n|) est décroissante, étant minorée (par 0) elle converge, versλ≥0. Siλ6= 0, considérons pour chaquen∈N^∗ un vecteur propre unitairee_nassocié à la valeur propre λ_n. Comme|λ_n| ≥λ >0, la suite (_λ¹

ne_n) est bornée donc commeT est compact on peut, quitte à extraire, supposer que la suite T(_λ¹

ne_n) converge. Or :

T 1

λ_ne_n

= 1

λ_nT e_n=e_n

donc cette suite ne peut converger carke_n−e_mk² =ke_nk²+ke_mk² = 2 (lesλ_i étant deux à deux distinctes, les vecteurs ei sont deux à deux orthogonaux carT est symétrique).

Ainsi, λ= 0 donc (|λ_n|) tend vers 0 donc (λ_n) tend vers 0.

Inclusion F^⊥ ⊆kerT. PosonsF :=⊕n≥1ker(T −λn). Si un vecteur x est dansF^⊥, d’après la définition deF on peut appliquer l’opérateurTn à xpour tout n≥1. Ainsi :

∀n≥1,kT xk=kT_nxk ≤ kT_nkkxk=|λ_n|kxk →0 par ce qui précède. Ainsi,T x= 0 i.e.x∈kerT.

4.2 Diagonalisation de T

Tout d’abord, remarquons que le résultat précédent reste valable dans le cas où la récurrence s’arrête (et où la somme porte alors sur un nombre fini de valeurs de n) ; en particulier on a F = F^⊥⊥ ⊇(kerT)^⊥. Par conséquent, comme kerT est fermé (car T est continu car compact), on a (kerT)^⊥⊕kerT =HdoncF+ kerT =H. Comme tous les éléments de kerT sont orthogonaux à tous les éléments deF (carT symétrique et λ_n6= 0 ∀n), on en déduit que kerT et F sont orthogonaux et on a doncH=F⊕^⊥kerT c’est-à-dire :

H=^M

n≥1

ker(T −λ_n)⊕kerT

(les sommes étant orthogonales). Finalement, si (e^m_n)_m désigne une base de ker(T−λn) (qui est de dimension finie car λ_n 6= 0 et T compact), la famille (e^m_n)_n,m est une base hilbertienne deF (en effet F = vect(e^m_n) !). Comme kerT possède une base hilbertienne, en concaténant les bases obtenues on obtient donc une base hilbertienne de vecteurs propres deT,i.e.on l’a diagonalisé. En outre on a :

∀x∈ H, T x=^X

n,m

λnhx, e^m_nie^m_n

Remarque. Bien sûr, quandT est de rang fini (c’est-à-dire que la récurrence s’arrête), la famille (e^m_n)_n,m est une base algébrique de F qui est alors de dimension finie.

Références

[1] WILLEM Michel,Analyse fonctionnelle élémentaire. Cassini, 2003.

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