DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Valeurs propres et sous-espaces stables
Dans ce probl`eme, on consid`ere unC-espace vectorielE, de dimension finien>1.
On note multiplicativement la composition dansL(E).
Dans ce qui suit,f d´esigne un endomorphisme deE,i.e.f ∈ L(E).
On dit queλ∈Cest unevaleur propre def sif−λIdE n’est pas injectif,i.e.s’il existe un vecteurnon nul xdeE tel que
f(x) =λx.
On dit alors quexest unvecteur propre def pour (ou associ´e `a) la valeur propreλ.
On posef0= IdE et, pour toutk∈N:fk+1=f◦fk, de sorte que, par exemple,f1=f etf3=f◦f◦f(=
f f f), et, pour tout (p, q)∈N2:fp+q=fp◦fq(=fpfq).
Partie A – Existence d’une valeur propre
L’objectif de cette partie est de montrer l’existence d’une valeur propre (complexe) pourf. A.1Trouver un entierN tel que (fk)k∈[[0,N]]soit li´ee.
A.2En d´eduire qu’il existe un entier naturel non nulmtel quefm∈Vect(fk)k∈[[0,m−1]]. On admet1 que pour tout entier naturel non nulm,
( fm−
m−1
X
k=0
αkfk,(α0, . . . , αm−1)∈Cm )
= ( m
Y
k=1
(f −λkIdE),(λ1, . . . , λm)∈Cm )
.
A.3Montrer quef admet une valeur propre complexe.
Partie B – Majoration du nombre de valeurs propres
Soitm ∈N∗,λ1, . . . , λm des valeurs propres complexes, distinctes deux `a deux, et x1, . . . , xm des vecteurs propres def pour ces valeurs propres respectives.
On souhaite montrer que (x1, . . . , xm) est libre. On raisonne par l’absurde, en supposant cette famille li´ee.
B.1Montrer quem>2, et qu’il existep∈[[1, m−1]] tel que (xi)i∈[[1,p]]soit libre etxp+1∈Vect(x1, . . . , xp).
B.2On note (α1, . . . , αp) lep-uplet des composantes dexp+1dans (x1, . . . , xp), c’est-`a-direl’uniquep-uplet de complexes tel que :
(∗) xp+1=
p
X
k=1
αkxk.
a Montrer queα1, . . . , αp sont non tous nuls.
En appliquantf `a (∗), trouver une absurdit´e : bDans le cas o`uλp+1= 0.
cDans le cas o`u λp+16= 0.
B.3Quel est le nombre maximumpossible de valeurs propres complexes d’un endomorphisme deE? B.4 Afin d’illustrer le travail pr´ec´edent, on travaille dans cette question (dont les suivantes ne d´ependent pas) dans leC-espace vectorielC∞(R,C).
a On consid`ere des nombres complexes α1, . . . , αm, distincts deux `a deux. Pour tout i∈[[1, m]], on pose ei :t∈R7→eαit. Montrer que (e1, . . . , em) est libre.
bMontrer que (ck :t∈R7→cos(kt))k∈[[0,m]]est libre.
1. Cela r´esulte du th´eor`eme de d’Alembert-Gauss
Partie C – Commutant et sous-espaces stables
On appellecommutant def et on note C(f) la partie suivante deL(E) : C(f) ={g∈ L(E), f g=gf}.
C.1Montrer queC(f) est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de L(E).
Commef ∈ C(f), on a Vect(fk)k∈N⊂ C(f), et, en particulier, pour toutλ∈C,f −λIdE ∈ C(f).
Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable parf sif(F)⊂F. Dans un tel cas, on peut restreindre et corestreindref `aF, obtenant un endomorphismef|F|F deF, appel´eendomorphisme deF induit par f.
C.2Montrer qu’il existe une droite vectorielle deE, stable parf.
C.3Soit F un sous-espace vectoriel deE, λ∈C. Montrer que F est stable par f si et seulement si F est stable parf−λIdE.
C.4On consid`ere un endomorphismeg deE, commutant avecf. a Montrer que Ker(g) et Im(g) sont stables parf.
On suppose que g admetnvaleurs propres λ1, . . . , λn, distinctes deux `a deux. Pour touti∈[[1, n]] soit xi
un vecteur propre degassoci´e `aλi.
bMontrer que (x1, . . . , xn) est une base deE.
c♥Montrer que pour touti∈[[1, n]], Ker(g−λiIdE) =Cxi.
Indication :on pourra, un peu comme dans B.2, se fonder sur l’existence et unicit´e dun-uplet des composantes d’un vecteur deE dans la base (x1, . . . , xn).
dMontrer que pour touti∈[[1, n]],xi est un vecteur propre def.
C.5On consid`ere des endomorphismesh1, . . . , hpdeE. On suppose que{0E}etEsont les seuls sous-espaces deE stables par chacun des endomorphismesh1, . . . , hp.
Montrer que sig∈ L(E) commute avech1, . . . , hp, alorsgest une homoth´etie,i.e.un ´el´ement deCIdE.
Partie D – Caract´ erisation de l’existence d’une base de vecteurs propres
D.1Montrer l’´equivalence des assertions suivantes : i Ker(f)∩Im(f) ={0E}.
ii Ker(f)⊕Im(f) =E.
iii Ker(f) admet un suppl´ementaireF dansE, stable parf. Pour toutλ∈C, on noteEλ= Ker(f −λIdE).
D.2♥On suppose que pour tout λ∈C, Eλadmet un suppl´ementaire dansE, stable parf. Montrer queE admet une base de vecteurs propres pourf.
Indication : on pourra raisonner par r´ecurrence forte sur la dimension deE, et consid´erer un endomorphisme induit parf sur un sous-espace vectoriel.
D.3Montrer, r´eciproquement, que siE admet une base de vecteurs propres pourf, alors pour toutλ∈C, Eλ admet un suppl´ementaire dansE, stable parf.
Partie E – Endomorphismes semi-simples
f est ditsemi-simple si tout sous-espace vectoriel deE stable parf admet un suppl´ementaire dansEstable parf.
E.1On suppose icif semi-simple. Montrer alors l’existence d’une base deE de vecteurs propres pourf. E.2On suppose r´eciproquement l’existence d’une telle base : en particulier, il existe des nombres complexes λ1, . . . , λp, distincts deux `a deux, tels que
E=Eλ1+· · ·+Eλp = Vect Eλ1∪ · · · ∪Eλp
.
On souhaite montrer quef est semi-simple. SoitF un sous-espace vectoriel deE stable parE.
On veut montrer queF = (F∩Eλ1) +· · ·+ (F∩Eλp). On a ´evidemment l’inclusion indirecte (inutile de la d´emontrer).
a Donner un exemple de trois sous-espaces vectorielsF, G, H d’un espace vectorielE tels que F∩(G+H)6= (F∩G) + (F∩H).
b♥Soitx∈F, (x1, . . . , xp)∈Eλ1× · · · ×Eλp tel quex=x1+· · ·+xp(=Pp
k=1xk). Montrer que pour touti∈[[1, p]],xi∈(F∩Eλi).
c♥Montrer quef est semi-simple.
