Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚2 Nombres complexes (partie 1)
Rappel : Division euclidienne
Sia∈Net b∈N∗, alors il existe un unique q∈Net un uniquer∈ {0, . . . , b−1} tels que : a=qb+r.
Le nombreq(resp.r) est appel´e quotient (resp. reste) de la division euclidienne de aparb.
Exercice 2 (CNS pour que le carr´e d’un nombre complexe soit un nombre r´eel) Soitz∈C. Donner une condition n´ec´essaire et suffisante surz pour quez2soit un nombre r´eel.
Exercice 3 (Formes alg´ebriques de nombres complexes) 1. Donner la forme alg´ebrique de z1= (2−3i)2.
2. Donner la forme alg´ebrique de z2= −3 +i 4−i . 3. Donner la forme alg´ebrique de z1
z2.
Exercice 4 (Syst`eme lin´eaire 2×2 `a coefficients complexes) R´esoudre le syst`eme
iz1 + (1 + 2i)z2 = 1−i (1−2i)z1 − 3iz2 = 1−2i d’inconnue (z1, z2) un couple de nombres complexes.
Exercice 5 (Puissances successives de i et dej)
Dans cet exercice, on se propose de calculer les puissances successives des nombres complexesietj:=−1 2+i
√3 2 . 1. (a) Calculeri0,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9.
(b) Soitn∈N. Calculerin.
Indication : On pourra scinder l’´etude en plusieurs parties, suivant le reste de la division euclidienne de n par un entier `a d´eterminer.
(c) Calculeri2013.
2. (a) Calculerj0,j1,j2,j3, j4,j5,j6,j7. (b) Soitn∈N. Calculerjn.
Indication : On pourra scinder l’´etude en plusieurs parties, suivant le reste de la division euclidienne de n par un entier `a d´eterminer.
(c) Calculerj2013.
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Exercice 6 (´Equations polynomiales de degr´e 2)
1. (a) D´eterminerα∈Retβ ∈Rtels que pour toutx∈R:
x2−6x+ 5 = (x+α)2+β (cf. forme canonique d’un trinˆome du second degr´e).
(b) R´esoudre l’´equationx2−6x+ 5 = 0, d’inconnuex∈R.
On pourra commencer par ´ecrire x2−6x+ 5comme la diff´erence de deux carr´es de nombres r´eels, en s’aidant de la question pr´ec´edente.
2. En s’inspirant de la d´emarche expos´ee en 1., r´esoudre : (a) l’´equationx2−10
3 x+ 1 = 0, d’inconnuex∈R; (b) l’´equationx2−2x+ 2 = 0, d’inconnuex∈R;
(c) l’´equationz2−2z+ 2 = 0, d’inconnuez∈C;
(d) l’´equationz2+ (2−i)z+ 9 + 13i= 0, d’inconnuez∈C; (e) l’´equation 2iz2+ (2−2i)z−6 + 12i= 0, d’inconnuez∈C.
Exercice 7 (D´eterminer deux nombres complexes `a partir de leur somme et de leur produit) 1. On se propose de r´esoudre le syst`eme (non lin´eaire)
(S)
z1+z2 = 23 z1z2 = 132 d’inconnue (z1, z2) un couple de nombres complexes.
(a) Soit (z1, z2) un un couple de nombres complexes solution du syst`eme (S). Montrer qu’alorsz1 etz2 sont racines du polynˆome :
P :=X2−23X+ 132.
(b) En d´eduire qu’il n’y a que 4 couples solution possibles.
(c) Achever la r´esolution du syst`eme (S).
2. En s’inspirant de la d´emarche expos´ee en 1., r´esoudre :
(a) le syst`eme
z1+z2 = 7 3 z1z2 = 2 3
,d’inconnue (z1, z2) un couple de nombres complexes ;
(b) le syst`eme
z1+z2 = 3 z1z2 = 3 +i
,d’inconnue (z1, z2) un couple de nombres complexes.
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