Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚3 Nombres complexes (partie 2)
Exercice 8 (Majoration de la distance `a l’origine des points d’un cercle) 1. D´eterminer l’ensembleC des points du plan d’affixez tels que :
|z−1 +i|= 2√ 2.
2. Repr´esenter graphiquement l’ensemble Cavec pr´ecision.
On utilisera uniquement un compas pour ce faire.
3. Conjecturer qu’il existe un plus petit nombre r´eelM (explicite) tel que :
∀z∈C |z−1 +i|= 2√
2 ⇒ |z| ≤M.
4. D´emontrer le r´esultat pr´ec´edent `a l’aide de l’in´egalit´e triangulaire.
Exercice 9 (Identit´e du parall´elogramme) Soientz1, z2∈C.
1. Montrer que :
|z1+z2|2+|z1−z2|2= 2(|z1|2+|z2|2).
2. Interpr´eter g´eom´etriquement l’identit´e obtenue en 1.
Exercice 10 (R´esolution d’une ´equation mettant en jeu des modules et m´ediatrice) Soitz∈C. Montrer que :
|z−i|=|z+i| ⇔ z∈R.
On donnera d’abord une d´emonstration analytique de cette ´equivalence, puis on proposera un argument g´eom´etrique.
Exercice 11 (Couronne envoy´ee dans une autre par une homographie) Soitz∈Ctel que :
2≤ |z| ≤4.
Montrer que :
1 5 ≤
5−z i+z ≤9.
Exercice 12 (Cercle de diam`etre [AB], o`uA etB sont deux points du plan) SoientA etB deux points du plan.
1. SoitI le milieu du segment [AB]. Montrer que zI =zA+zB
2 .
On s’appuiera sur l’identit´e −→
IA+−→
IB=−→0 d´efinissant le point I.
2. Montrer que pour toutz∈C:
Re((z−zA) (z−zB)) = 0 ⇔ |z−zI|=1
2|zB−zA|.
3. Pr´eciser la nature g´eom´etrique du lieu des points du plan d’affixeztels que Re((z−zA) (z−zB)) = 0.
