Exercice 1 Décrire et représenter l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que : 1. z−2i+ z √ 3 ∈ R 2. (z − i) 2 ∈ i R .

Exercices sur les nombres complexes Généralités

Exercice 1 Décrire et représenter l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que : 1. _z−2i+ ^{z √} ₃ ∈ R 2. (z − i) ² ∈ i R .

Exercice 2 Caractériser les nombres complexes z appartenant aux ensembles suivants : le rectangle, la couronne et le secteur angulaire.

Exercice 3 (Dessiner c’est gagner) Décrire et représenter l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que :

1. 3 6 | z − 2 e

| 6 5. 2. | z − 1 | = | z | 3. arg z ² = 4 π

3 [2 π ] . 4. | z + z | = | z × z | .

Exercice 4 (Choisir l’écriture adéquate) Déterminer l’écriture algébrique puis l’écriture exponentielle des nombres complexes suivants.

1. ⁱ _i+1 ⁻¹ . 2. ^{√ 1+i} _3−i 3. (3 − 3i) ²⁰¹⁷

Exercice 5 Déterminer un argument de :

e ⁱ

+ e ⁱ

et (1 − e ⁱ

) ²⁰²¹ . Exercice 6 Soit z un complexe non nul. Montrer que :

z + 1

z ∈ R ⇔ z ∈ R ∪ U .

On pourra écrire z sous la forme z = x + iy et donner l’écriture algébrique de z + ¹ _z .

Exercice 7 (Utilisation de l’inégalité triangulaire) Soit z ∈ C . Démontrer que

| z | 6 | z | ² + | z − 1 | .

On pourra commencer par le cas où | z | > 1, et dans le cas où | z | 6 1, écrire z = ( z − z ² )+ z ² . Exercice 8 (Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire)

1. Résoudre l’équation Re( Z ) = | Z | d’inconnue Z ∈ C .

2. En déduire que si deux nombres complexes z et z ^′ vérifient | z + z ^′ | = | z | + | z ^′ | , alors soit z = 0 soit il existe k > 0 tel que z ^′ = kz .

Exercice 9 (Un peu technique) Soit a, b, c trois nombres complexes de module 1.

1. Démontrer que _a ¹ + ¹ _b + ¹ _c = | a + b + c | . 2. En déduire que | ab + ac + bc | = | a + b + c | .

Exercice 10 (Fonction carrée) Soit f : C → C définie par f(z) = z ² . 1. Déterminer le ou les antécédents de 1 + i.

2. L’application f est-elle injective, surjective, bijective ? 3. Démontrer que f ( U ) = U .

4. Déterminer f ⁻¹ ( R ⁻ ).

5. Tracer f (∆) où ∆ est la droite d’équation y = x.

Applications des nombres complexes

Exercice 11 Soit x ∈ R . Développer (cos x + i sin x ) ⁵ . En déduire une écriture de cos ⁵ x comme un polynôme en cos x.

Exercice 12 Soit x un réel.

1. Simplifier la somme S ( x ) =

n

X

k=0

n k

!

cos( kx ) .

2. En déduire en fonction de S, une expression de pour y ∈ R de :

n

X

k=0

n k

!

cos( kx ) cos( ky ) Exercice 13 (Linéarisons)

1. Soit x ∈ R . Développer e ^ix − e ^{− ix} 2i

! 3

, en déduire une linéarisation de sin ³ x .

2. En déduire les primitives de x 7→ sin ³ x.

Équations et Racines de l’unité

Exercice 14 Déterminer les racines cinquièmes de j et de 2 1 − i .

Exercice 15 Calculer (2 − 3 i ) ⁴ . En déduire les racines quatrième de − 119 + 120 i . Exercice 16 Déterminer les racines n -ièmes de − 1.

Exercice 17 Résoudre l’équation d’inconnue z ∈ C : z = jz ² .

Exercice 18 (Équation de degré 2) Donner l’écriture algébrique des racines carrées de − 8 − 6i puis résoudre l’équation

2z ² − (1 + 5i)z − 2(1 − i) = 0.

Exercice 19 (Résolution d’un système) Résoudre le système d’inconnues x et y dans C ^∗ :

( x + y = 3

1

x + ¹ _y = 4 . On pourra introduire S = x + y et P = xy.

Exercice 20 Soit n ∈ N ^∗ . Résoudre l’équation ( z + 1) ⁿ − ( z − 1) ⁿ = 0. On vérifiera que les solutions sont imaginaires pures.

Exercice 21 (Exponentielle complexe) Résoudre les équations d’inconnues z ∈ C : e ^z = 0 et e ^z = √

3 − i.

Exercice 22 Soit f : C → C ^∗ l’application définie par f ( z ) = e ^z . 1. L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ? 2. Déterminer f ⁻¹ ( U ) et f(i R ).

3. Représenter graphiquement f (∆) où ∆ est la droite d’équation y = x .

Géométrie

Exercice 23 (Images réciproques de «droites cercles» par une homographie) Étant donné z ∈ C , on pose Z = z + 1

z − 2i . Déterminer l’ensemble des points d’affixe z tels que Z soit : a) réel b) imaginaire pur c) d’argument ^π ₂ .

Exercice 24 (Transformation homographique) Soit f l’application de C \ { i } dans C dé- finie par

f ( z ) = z + i

z − i .

1. Montrer que l’homographie ¹ f est une bijection de de C \ { i } vers un ensemble à préciser.

Déterminer l’expression de son application réciproque.

2. Soit A une partie de C \ { i } et Z un nombre complexe. Montrer que Z ∈ f ( A ) ⇔ i(Z + 1)

Z − 1 ∈ A.

3. Déterminer f ( U \ { i } ) (droite) , f ( R ) (c’est un cercle privé d’un point) et f(i R \ { i } ) (on essaiera d’avoir de l’intuition en regardant si la droite ou le cercle contient le pôle i et en se concentrant aussi sur le point à l’infini).

Exercice 25 Déterminer l’ensemble des points d’affixe z tels que : 1. 1, z et z ² soient les affixes de trois points alignés.

2. z et ¹ _z soient les affixes de deux vecteurs orthogonaux.

Exercice 26 (Triangle équilatéral direct) On note a, b, c les affixes des points A, B, C . Dé- montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si a + bj + cj ² = 0 (on pourra utiliser une rotation, puis exprimer e ⁱ

à l’aide de j ² ).

Exercice 27 (similitude directe) Dans chaque donner la nature géométrique de la transfor- mation codée par la fonction suivante f : C → C définie par :

1. f ( z ) = z + 5 − 2 i 2. f ( z ) = 3 z + 1 3. f ( z ) = iz − 1 4. f ( z ) = (1 + i ) z + (3 − 4 i ) Exercice 28 (Polygone régulier) Soit n > 2 un entier. On pose z _k = e

pour k ∈ { 0, . . . , n − 1 } et on note M _k le point d’affixe z _k pour k ∈ { 0 , . . . , n − 1 } .

1. Déterminer le centre de gravité du polygone M ₀ M ₁ . . . M _{n −1} .

2. Soit k ∈ { 0 , . . . , n − 1 } . Démontrer que la distance M _k M _k+1 vaut 2 sin ^π _n (on peut poser M _n = M ₀ ).

3. Démontrer que la mesure principale de l’angle orienté ( −−−−−→ M _k M _k+1 , −−−−−→ M _k M _k−1 ) vaut ^(n−2)π _n . Que peut-on en déduire pour le polygone M ₀ M ₁ . . . M _{n −1} ?

Exercice 29 (Entiers de Gauss et quadrillage) On pose Z [ i ] = { a + ib | a, b ∈ Z } . C’est l’ensemble des entiers de Gauss .

1. Soient z et z ^′ dans Z [i] avec z ^′ non nul. Montrer que _z ^z

s’écrit x +iy avec x et y rationnels.

En déduire que e

ne peut s’écrire comme le quotient de deux entiers de Gauss.

2. Montrer qu’il n’existe pas de triangle équilatéral dont les sommets ont des coordonnées entières.

Exercice 30 (Construction à la règle et au compas d’un pentagone régulier)

1. On appelle homographie toute transformation complexe du type z 7→ az + b

cz + d avec a, b, c, d des complexes

vérifiant ad − bc 6 = 0 (sinon c’est une application constante). On peut montrer que les homographies conservent

l’ensemble «cercles droites».

1. Valeur exacte de cos ^2π ₅

Pour k ∈ { 0, . . . , 4 } , on pose w _k = e

. (a) Calculer w ₀ + w ₁ + w ₂ + w ₃ + w ₄ .

(b) Exprimer ensuite 1 + w ₁ + w ₂ + w ₃ + w ₄ à l’aide de cos ^2π ₅ et cos ^4π ₅ . En déduire que cos ^2π ₅ est une racine du polynôme 4 X ² + 2 X − 1 puis donner la valeur exacte de cos ^2π ₅ .

2. Constructions à la règle et au compas

Nous disposons uniquement comme instruments du compas et d’une règle non graduée.

On construit un segment unité donc déclaré de longueur 1.

(a) Construire des segments de longueurs respectives ¹ ₂ , √ 2 puis ¹ ₂ + √ 2.

(b) Construire des segments de longueurs respectives √

3 et ¹ ₃ (on pourra utiliser de célèbres théorèmes du collège).

(c) Construire à la règle et au compas sur un cercle trigonométrique le point d’affixe w ₁ . En déduire une construction à la règle et au compas d’un pentagone régulier ² . Exercice 31 (Théorème de Napoléon) Soient ABC un triangle de sens direct. On construit les points P, Q et R de sorte que les triangles BP C, CQA et ARB soient équilatéraux de sens direct (les points P, Q, R sont ainsi à l’extérieur du triangle ABC ). On note U ( u ) , V ( v ) et W ( w ) les centres de gravité respectifs des triangles BP C, CQA et ARB .

On pourra utiliser librement le résultat de l’exercice 26

1. Comparer a + b + c et u + v + w. En déduire que les triangles ABC et U V W ont même centre de gravité.

2. Démontrer que le triangle U V W est équilatéral.

2. On peut démontrer que l’on peut seulement construire à la règle et au compas les polygones réguliers

à n côtés où n est le produit de puissances de 2 et de nombres premiers de Fermat(c’est à dire de la forme

F

= 2

+ 1 pour k = 1 . . . 5) tous différents ou le produit des deux .