Universit´e Paris 7 Ann´ee 2009/2010
Fonctions analytiques Licence S5, M23040
Feuille 7
Exercice 1 . Resz=1
ez
(z−1)2, Res
z=π4
cosz
z− π4, Res
z=0
ez2
z2n+1, n∈N.
Exercice 2.Pour toutR >0 on noteC(R)⊂Cle cercle centr´e `a l’origine et de rayonR parcouru dans le sens positif. Pour chaque int´egrale suivante, d´eterminer pour quels r´eels R >0 elle est d´efinie et donner sa valeur en fonction de R.
Z
C(R)
dz z+z3
Z
C(R)
z2 1 +z4dz
Z
C(R)
dz (z2+ 1)3 Z
C(R)
sinπz (z−1)3dz
Z
C(R)
z2n
(z−1)n, n ∈N
Z
C(R)
dz
(z2+ 1)(z−1)2 Exercice 3 .Caculer les int´egrales suivantes.
Z
∂D
dz
1 +z4 (D :|z−1|<1).
(1)
Z
∂D
dz
(z−1)2(z2+ 1) (D :|z−1−i|<2).
(2)
Z
∂D
dz
(z2−1)(z−3)2 (D : 2<|z|<4).
(3)
Exercice 4.D´eterminer les d´eveloppements en s´erie de Laurent en 0 def(z) = 1−z12+3−z1 dans chacun des domaines suivants
D, A=©
z∈C|1<|z|<3ª
, B =©
z ∈C| |z|>3ª .
Exercice 5 . D´eterminer les d´eveloppements en s´erie de Laurent en 0 de f(z) = z−1z ez dans les domainesD puis A=©
z∈C| |z|>1ª .
Exercice 6 . D´evelopper les fonctions suivantes en s´eries de Laurent en 0 dans chacun des ouverts donn´es.
1. f(z) = 1
(z−1)(z−2) dans |z|<1, 1<|z|<2 et |z|>2.
2. f(z) = 1
z(z−a) dans 0<|z|<|a| et dans |z|>|a|.
3. f(z) =z2e1/z dans C∗. 4. f(z) =ez+1/z dans C∗.
Exercice 7 . D´eterminer la couronne de convergence de la s´erie de Laurent P
n∈Za|n|zn o`ua∈C.
Exercice 8.A l’aide du th´eor`eme de Rouch´e, trouver le nombre de racines des ´equations ci-dessous dans les domaines indiqu´es entre parenth`eses :
z4−3z+ 1 = 0, (D : |z|<1). 2z4−5z+ 2 = 0, (D : |z|<1).
z8−4z5+z2−1 = 0, (D : |z|<1). z3−12z+ 2 = 0, (D : |z|<2).
z4−9z+ 1 = 0, (D : |z|<2). z5+z3−4z+ 1 = 0, (D : 1<|z|<2).
Exercice 9 .Calculer les int´egrales suivantes I1 =
Z 2π
0
dt
2−cost, I2 = Z 2π
0
cost
a+ costdt, I3 = Z 2π
0
dt
b+ cost+ sint, o`ua et b sont des r´eels v´erifiant a >1 et b >√
2.
Exercice 10.Soient retR deux r´eels v´erifiant 0< r <1< R. On note ΓR,r ⊂Cle lacet compos´e des quatre chemins suivants.
γ1(t) =t, t∈[−R,−r], γ2(t) = rei(π−t), t∈[0, π], γ3(t) =t, t∈[r, R], γ4(t) = Reit, t∈[0, π],
il est conseill´e de faire un dessin. On note, par abus de notation, Logz la d´etermination du logarithme et √
z la d´etermination de la racine carr´ee sur C\ {iy | y ∈ ]−∞,0]}
correspondant `a−π/2<Argz <3π/2.
1. Calculer Z
ΓR,r
Logz
√z(1 +z2)dz, o`u ΓR,r est parcouru positivement.
2. Pour tout ρ > 0 on note C(ρ) le demi-cercle γ(t) = ρeit, t ∈ [0, π], parcouru positivement. Montrer que
Z
C(ρ)
Logz
√z(1 +z2)dz−→
ρ→00 et
Z
C(ρ)
Logz
√z(1 +z2)dz −→
ρ→+∞0.
3. En d´eduire la valeur des int´egrales suivantes.
I = Z ∞
0
Logx
√x(1 +x2)dx, J =
Z ∞
0
√ dx
x(1 +x2).
Exercice 11 .Soit n∈ N,n >2. Pour tout R > 1 on consid`ere le lacet ΓR compos´e des chemins suivants.
γ1(t) =t, t∈[0, R], γ2(t) =Reit, t ∈[0,2π/n], γ3(t) = (R−t)ei2πn , t∈[0, R].
Pour toutR >1 calculer
I(R) = Z
ΓR
dz 1 +zn o`u ΓR est parcouru positivement. En d´eduire que
Z +∞
0
dx
1 +xn = π nsinπn.
Exercice 12 .Pour tout R >0 on note ΓR le lacet compos´e des chemins suivants.
γ1(t) =t, t ∈[−R,−1/R], γ2(t) = 1
Reit, t∈[π,2π], γ3(t) =t, t ∈[1/R, R], γ4(t) = Reit, t∈[0, π].
Le but de cet exercice est de calculer l’int´egrale impropre (et convergente)
I = Z +∞
−∞
sinx x dx.
1. Calculer R
ΓR
eiz
z dz pour toutR >0, o`u ΓR est parcouru positivement.
2. Montrer que
³ Im
Z
γ1
eiz
z dz+ Im Z
γ3
eiz z dz
´
R→+∞−→
Z +∞
−∞
sinx x dx.
3. Pour tout R >0 on pose : J(R) = R
γ4
eiz z dz.
(a) Soit ε > 0. En consid´erant l’intervalle [0, π] comme la r´eunion [0, ε]∪[ε, π−ε]∪[π−ε, π], montrer que
|J(R)|62ε+ (π−2ε)e−Rsinε. (b) En d´eduire que J(R)−→R→+∞0.
4. Montrer que
Z
γ2
eiz
z dz −→
R→+∞iπ.
5. En d´eduire que
Z +∞
−∞
sinx
x dx=π.
Exercice 13 .Montrer que Z +∞
−∞
cosx
x2+x+ 1 dx= 2π
3 e−√3/2cos(1
2) et
Z +∞
−∞
sinx
x2+x+ 1dx=−2π
3 e−√3/2sin(1 2).
On pourra consid´erer, pour toutR >1, le lacet ΓR compos´e des chemins suivants γ1(t) = t, t∈[−R, R]; γ2(t) =Reit, t∈[0, π]
et l’int´egrale
Z
ΓR
eiz
z2+z+ 1dz o`u ΓR est parcouru positivement.
Exercice 14 .
1. D´emontrer qu’il existe une unique fonction m´eromorphe f sur C\R+ qui v´erifie
f(x) = x2/3 (x+ 1)(x+ 2)2 pour tout x∈R−\ {−1,−2}.
2. Que valent alors lim²>0,²→0f(x−i²) et lim²>0,²→0f(x+i²), lorsquex∈Retx >0 ? 3. D´eterminer les pˆoles et les r´esidus de f.
4. Calculer Z +∞
0
x2/3
(x+ 1)(x+ 2)2 dx.
