EXERCICE 2
1)L’expression complexe der estz!=a+eiπ/2(z−a) = −2+i(z+2) =iz−2+2i. Donc, puisqueJ=r(B), en notantj l’affixe du pointJ, on a
j=i(5i) −2+2i= −5−2+2i= −7+2i.
L’affixe du point Jest−7+2i.
2)Le pointBa pour coordonnées(0, 5)et le pointKa pour coordonnées(−2,−6). Donc le vecteur−BK→a pour coordonnées (−2,−11).
De même, le point J a pour coordonnées (−7, 2) et le point C a pour coordonnées (4, 0). Donc le vecteur −JC→ a pour coordonnées(11,−2). Par suite,
−→ BK.−→
JC= (−2)×11+ (−11)×(−2) =0,
et donc les vecteurs−BK→et−JC→sont orthogonaux ou encore les droites(BK)et(JC)sont perpendiculaires.
BK=!
!
!
−→ BK!
!
!="
(−2)2+ (−11)2=√
125=5√
5et JC=!
!
!
−→ JC!
!
!="
112+ (−2)2=√
125=5√
5. DoncBK=JC=5√ 5.
3) a)Sest le milieu du segment[BJ] et donc s= b+j
2 = 5i−7+2i 2 = −7
2 +7 2i.
De même,T est le milieu du segment[KC]et donc (en notantkl’affixe du pointK) t= k+c
2 = −2−6i+4
2 =1−3i.
L’affixe du pointSest−7 2+ 7
2iet l’affixe du pointT est1−3i.
b)Cest l’image deBpar la rotation de centreUet d’angle π
2. Doncc=u+eiπ/2(b−u) =u+i(b−u) = (1−i)u+ib puis
u= c−ib
1−i = 4−i(5i)
1−i = 9(1+i)
(1−i)(1+i) = 9+9i 12+ (−1)2 = 9
2 +9 2i.
L’affixe du pointUest 9 2+ 9
2i.
c)Les coordonnées du vecteur−→ AUsont
#13 2 ,9
2
$
et les coordonnées du vecteur−→ ST sont
#9 2,−13
2
$ . Donc,
−→ AU.−ST→=
#13 2
$
×9 2+ 9
2×
#
−13 2
$
=0,
et donc les vecteurs−AU→et−ST→sont orthogonaux ou encore la droite(AU)est la hauteur issue deUdu triangleSTU.
4)On sait que%−→ JC,−→
AU&
=arg
#u−a c−j
$
[2π]. Or
u−a c−j =
9 2 +9
2i− (−2) 4− (−7+2i) =
13 2 + 9
2i 11−2i = 1
2 ×(13+9i)(11+2i) (11−2i)(11+2i) = 1
2×143+26i+99i−18 112+ (−2)2 = 1
2×125+125i 125 = 1
2(1+i).
Par suite,
u−a c−j = 1
√2
# 1
√2 + 1
√2i
$
= 1
√2
%cos%π 4
&
+isin%π 4
&&
= 1
√2eiπ/4.
On en déduit que arg
#u−a c−j
$
= π
4 [2π]ou encore
%−→ JC,−→
AU&
= π 4 [2π].
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5) a)Le vecteur−→
AV a pour coordonnées(1, 248;0, 864)et le vecteur−→
AUa pour coordonnées(6, 5;4;5).
Or 6, 5
1, 248 ×1, 248=6, 5et 6, 5
1, 248 ×0, 864=4, 5et donc 6, 5 1, 248
−→
AV =−AU. On en déduit que les vecteurs→ −→ AUet −→
AV sont colinéaires ou encore que
les pointsA, Vet Usont alignés.
b) D’après la question 4), %−JC,→ −AU→&
= π
4 [2π]. Comme le point V appartient aux segments [JC] et [AU], on a aussi
%−VC,→ −VU→&
= π
4 [2π]puisCVU! =45◦.
D’après la question 2), les segments [BK] et [JC] sont perpendiculaires. Il en est de même des segments [VC] et [VB].
Puisque le pointBest de l’autre côté deCpar rapport à la droite(VU), on aUVB! =CVB!−CVU! =90−45=45◦. Ainsi, la droite(VU)est la bissectrice de l’angleBVC! et, puisque les pointsA,V et Usont alignés,
la droite(AU)est la bissectrice de l’angleBVC.!
C A
B
S
U
T
K L
M N
I
J
V
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