est un sous-groupe Z v + Z w o` u v, w ∈ R

(1)

E ¯ xamen de g´ eom´ etrie hyperbolique 1. M´ etriques plates du tore:

Un re´ seau de R

²

est un sous-groupe Z v + Z w o` u v, w ∈ R

²

ne sont pas colin´ eaires.

(a) Remarquer qu’un r´ eseau L induit une m´ etrique plate dans le tore T

²

= S

¹

× S

¹

, identifiant T

²

avec R

²

/L. Montrer que toute m´ etrique plate dans T

²

est ainsi obtenue.

(b) Soit ρ : π

1

(T

²

) → R

²

une representation fid` ele et discr` ete. Mon- trer que l’image de ρ est un r´ eseau de R

²

.

(c) Soit

T

⁰

(T

²

) = {m´ etriques plates dans T

²

}/Diff

₀

(T

²

)

Montrer qu’on a une bijection Mod(T

²

)–´ equivariante entre T

⁰

(T

²

) et FD(π

1

( T

²

), R

²

)/ Isom R

²

.

2. Espace de Teichm¨ uller du tore:

L’espace de Teichm¨ uller de T

²

est

Teich( T

²

) = {m´ etriques plates de T

²

de aire 1}/Diff

₀

( T

²

) Soient α, β de g´ en´ erateurs de π

₁

( T

²

). On consid` ere l’application

f : FD(π

₁

( T

²

), R

²

)/ Isom R

²

→ H

²

d´ efinie comme suit: si ρ ∈ FD(π

1

( T

²

), R

²

), soient v = ρ(α) et w = ρ(β), ` a conjugaison pr` es par un ´ element de Isom R

²

, on peut supposer que la base {v, w} est d’orientation positive et que v ∈ R × {0}. A ` homoth´ etie pr` es, on peut supposer que v = (1, 0). On d´ efinit alors f ( ¯ ρ) = w ∈ H

²

.

(a) On identifie T

⁰

( T

²

) avec FD(π

₁

( T

²

), R

²

)/ Isom R

²

. Montrer f re- streint ` a Teich( T

²

) est bijective.

(b) Si Mod(T

²

) = SL(2, Z) agit sur H

²

par transformations de M¨ obius, montrer que f : Teich( T

²

) → H

²

est ´ equivariante.

(c) D´ ecrire la topologie de M( T

²

) = Teich( T

²

)/ Mod( T

²

).

1

(2)

3. Lemme du collier:

Soit l > 0. Dans le mod` ele du demi plan sup´ erieur H

²

, on consid` ere la g´ eod´ esique verticale ˜ α ({ z | <z = 0 }). Pour un segment [z, w] ⊂ α ˜ de longueur l on consid` ere β

₁

, β

₂

les g´ eod´ esiques perpendiculaires ` a ˜ α par z et w respectivamente. Soient x

1

, x

2

les extr´ emit´ es respectives (dans l’axe r´ eel) de β

1

, β

2

du mˆ eme cˆ ot´ e de ˜ α et soit α

1

la g´ eod´ esique d´ etermin´ e par x

₁

et x

₂

. Finalement on d´ efinit η(l) = dist( ˜ α, α

₁

).

(a) Dans H

²

, calculer la distance entre la droite verticale ˜ α et une droite formant un angle θ avec la droite r´ eelle.

(b) Calculer η en fonction de l.

(c) Montrer que η est d´ ecroissante et que lim

l→0

η(l) = +∞, lim

l→+∞

η(l) = 0.

(d) Soit Σ = H

²

/Γ une surface hyperbolique compl` ete, α une g´ eod´ e- sique ferm´ ee simple de Σ de longueur l et ˜ α ⊂ H

²

un relev´ e de α

`

a H

²

. D´ emontrer que l’anneau

A(l) = {z ∈ H

²

: dist(z, α) ˜ < η(l)}/hγi

se plonge dans Σ, o` u γ ∈ Γ est l’isom´ etrie hyperbolique d’axe ˜ α et longueur de translation l. (Indication: Supposer d’abord que Σ est un pantalon ` a bord g´ eod´ esique et α une courbe du bord).

4. Triangles et commutateurs:

(a) On consid` ere un triangle g´ eod´ esique d´ efini par trois points dans l’espace hyperbolique de dimension 2. Donner une condition pour l’existence du triangle en fonction des angles au sommets.

(b) Pour chaque segment on consid` ere l’involution hyperbolique fix- ant le point du millieux. On supposera les cˆ ot´ es du triangle

´ enum´ er´ es dans le sens positif et on note les involutions r

₁

, r

₂

et r

3

. Sous quelle condition le groupe engendr´ e par les trois ro- tations r

₁

, r

₂

et r

₃

est discret? Dans ce cas quel est son domaine fondamental?

(c) Montrer que l’´ el´ ement (r

₁

r

₂

r

₃

)

²