2) Quelle est la nature des int´egrales suivantes : Z 1 −1 1 x2 dx, Z

Licence MI 2`eme ann´ee, Analyse, Semestre 1, Feuille 2 (Int´egrale g´en´eralis´ee), Ann´ee 2004-2005.

Exercice 1 (D´efinition, cours et premiers exemples) 1) Montrer que^R_−∞⁻¹ _t^1αdt converge si et seulement si α >1.

Soienta, b∈^Raveca < b. Montrer que^R_a^b _(t ¹

−a)^α dtconverge si et seulement siα <1.

2) Quelle est la nature des int´egrales suivantes :

Z 1

−1

1 x² dx,

Z +∞ 1

1 x² dx,

Z +∞ 1

1 xdx,

Z 1 0

1

(1−x)^α dx.

3) En utilisant la d´efinition de l’int´egrale g´en´eralis´ee, montrer la convergence et calculer la valeur de ^R₀^{1 √}₁¹

−tdt, ^R₀^+∞_1+t¹2 dt.

Exercice 2 (Continuit´e et convergence) Soient a, b∈^R avec a < b.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Dans le cas contraire, donner un contre-exemple.

a) Si f est continue sur [a, b], alors ^R_a^bf(t)dt converge.

b) Si f est continue sur [a, b[, alors ^R_a^bf(t)dt converge.

c) Si f est continue sur ]a, b], alors ^R_a^bf(t)dtconverge.

d) Si f est continue sur ]a, b[, alors ^R_a^bf(t)dt converge.

Exercice 3 (Equivalents)

1) D´eterminer un ´equivalent de chacune des fonctions suivantes au point con- sid´er´e.

f :x7→ (2x²+ 3x³)(2x+ 5)

5x+x⁴ en 0 puis en +∞, g:x7→ x²−x−2

√x−2 en 2, puis en d´eduire la nature de ^R₀^+∞f(x)dx et ^R₂³g(x)dx.

2) Etudier la nature de^R₀¹ _x^{3 1}

−5x² dx et^R₀^+∞_x²_+x¹

−20dx. Exercice 4 (Exponentielle et logarithme)

1) Ecrire la primitive dex7→e^−x2 qui s’annule en 0.

2) Montrer quee^−x2 = o

x→+∞

1 x²

. En d´eduire la nature de ^R₀^+∞e^−x2dx.

3) Montrer que^R₀¹lnx dx converge. (On utilisera la d´efinition comme `a l’ex 1.) 4) Etudier la nature de l’int´egrale ^R₀¹_1+x^lnx dx.

Exercice 5 (D´eveloppement limit´e)

1) a) Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 au point 0 dex7→e^x. b) D´eterminer un ´equivalent de h:x7→ ^ex+e_x^−2x−2 −1 en 0.

c) En d´eduire la nature de ^R₀¹h(x)dx.

2) Etudier la convergence de l’int´egrale suivante : ^{Z 1}

0

e^t+e^−t−2 cos(t) t²√

t dt.

3) a) Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 au point 0 dex7→√ 1 +x.

b) En d´eduire la nature de ^R₀¹ ₁ ¹

−√ 1−tdt.

1

Exercice 6 (Calcul de sommes)

Etudier la convergence des int´egrales ; s’il y a convergence, calculer leurs valeurs.

Z _+∞

2

1

(x²−1)² dx,

Z _+∞

1

1 2x+√³

x²+ 1 + 5dx,

Z ₁

0

x^αlnx dx (α≥0).

Exercice 7 (R´ecurrence)

Soit I_n =^R₀^+∞xⁿe^−xdx pour n∈^N.

1) Etudier la convergence de I_n. (Penser `a l’exercice 4.) 2) Exprimer I_n en fonction deI_n−1 et de n pourn ≥1.

3) Exprimer I_n en fonction deI₀ etn et enfin, I_n en fonction de n.

Exercice 8 (Exercice type)

Etudier la convergence des int´egrales

Z 2 1

x²−3x+ 2

(2−x)^α(x−1)^3/2 dx,

Z +∞ 0

sinx 1 +x² dx.

Exercice 9 (Int´egrales semi-convergentes)

1) Etudier la convergence des int´egrales^R₁^+∞cos_x^2xdx et ^R₀^{1 cos}_x^2xdx.

2) Etudier la convergence de ^Z +∞

1

cosx x dx

selon deux m´ethodes : avec une int´egration par partie et en utilisant le th´eor`eme d’Abel dont on rappellera l’´enonc´e.

3) Etudier la convergence de ^R₀^{+∞ cos}_x^2xdx et^R₀^+∞cos_x^xdx.

4) Etudier la convergence de ^R₁^{+∞ e}_t^αitdt pourα∈]0,1].

Exercice 10 (Valeur d’int´egrale et divergence) Etudier la convergence de^R_−∞^+∞_1+t^t2 dt.

Calculer lim

X→+∞

RX

−X t

1+t² dtet lim

X→+∞

RX

−2X t 1+t² dt.

Annales

Sujets et corrig´es d’anciens examens accessibles `a l’adresse

http://www-math.unice.fr/∼ bertheli/Page Web/page6.html Sur le th`eme de cette feuille de TD, voir l’exercice 3 du partiel 2002-03, l’exercice 2 de la session de septembre 2003, l’exercice 2 du partiel 2003-04 et l’exercice 1 de la session de septembre 2004.

A titre d’exemple, voici l’exercice 2 du partiel 2003-04 :

1. Faire le changement de variable x³ = y dans l’int´egrale suivante, o`u X ∈ [1,+∞[,

Z _X

1

xcos(x³)dx.

2. Etudier la nature de

Z +∞ 1

cosy y^a dy pour a >0. On ´enoncera le th´eor`eme utilis´e.

3. En d´eduire la nature de l’int´egrale g´en´eralis´ee

Z _+∞

0

xcos(x³)dx.

2