En déduire la valeur de l'intégrale :I3= Z 1/2 −1/2 x2 √1−x2 dx

L1-MS2 - 2007/2008 - Examen du 10 juin 2008

Examen de Mathématiques pour les Sciences (MS2) Durée: 2 heures

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Exercice 1 : Calculer la primitiveF(x) =

Z x

1 +x⁴dx (à une constante près).

Exercice 2 :

1. Calculer l'intégrale : I₁ = Z _π/6

−π/6

cos²xdx.

2. Calculer l'intégrale : I₂ = Z _1/2

−1/2

p1−x²dx. (Indication : on pourrait poser x = sint ou bien faire un

changement de variable de type Euler) 3. En déduire la valeur de l'intégrale :I₃=

Z _1/2

−1/2

x²

√1−x² dx. (Indication : IPP).

Exercice 3 : Résoudre surR^∗₊ l'équation diérentielle :

(E) y⁰−(lnx)y=e^xlnxsinx.

1. Trouver l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre (E₀) y⁰−(lnx)y= 0.

2. Trouver une solution particulière de(E). (Indication : variation de la constante) 3. Trouver la solution générale de l'équation (E).

Exercice 4 : Soit la fonctionf :R² →Rdénie parf(x, y) =x²y. 1. Calculer ses dérivées partielles (qu'on notera par f_x⁰ ≡ ^∂f_∂x etf_y⁰ ≡ ^∂f_∂y).

2. Trouver l'ensemble des points critiques de f.

3. Parmi les points critiques de f y a-t-il un point d'extremum local def? (Justier la réponse).

Exercice 5 : (les questions 1 et 2 ci-dessous sont indépendantes)

1. Soit f :R→Rune fonction intégrable. Soientx, y, α, β∈Ravec α+β6= 0.

(a) Montrer que f peut se mettre sous la forme f =f_p+f_i où f_p est fonction paire et f_i est une fonction impaire (préciser f_p, f_i en termes def).

(Indication : ecrire l'identité precedente pour f(x) etf(−x) ce qui fournit un systeme)

(b) Soitφ(t) =αf(t)+βf(−t),∀t∈R. En déduire de la question précédente le même type de décomposition pour φ, oùφ_p etφ_i sont à trouver en termes def.

(c) En déduire qu'on a : Z ^x

2

−^x₂

f(t)dt= 1 α+β

Z ^x

2

−^x₂

φ(t)dt.

2. Supposons que φ(t) =e^2tcos²(yt),∀t∈R(iciy∈Rest un paramètre).

(a) Calculer l'intégrale I(x, y) = Z ^x

2

−^x₂ e^2tcos²(yt)dt, où x, y∈R. (b) Notons parF(x, y) l'intégrale

Z x 2

−^x₂

f(t)dt. En déduire des questions précédentes que l'expression exacte de F(x, y).F est-elle continue sur R²?

(c) Montrer que pour chaque x∈Ron a lim

y→±∞F(x, y) = sinhx 2(α+β).

Barème indicatif : 25 pts.

Nota bene : Réponses concises + trêve au bla-bla = temps épargné + correcteur bienveillant