1 Soit la fonction f définie sur IR – { – 1; 1 } par : f (x) = x3 + x2 x2 – 1
et Cf sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O; →i , →j ) (unité : 1 cm en abscisse et 0,1 cm en ordonnée )
1° Déterminer les limites de f en + 1 et en – 1 .
2° Déterminer les réels a, b, c et d tels que pour tout x de IR – { – 1; 1 } : f(x) = a x + b + c x + d x2 – 1 En déduire que la droite D d'équation " y = x + 1 " est asymptote à la courbe Cf
Etudier la position de Cf par rapport à D 3° Etudier les variations de f .
( On montrera que pour tout x de IR – { – 1 ; 1 } : f '(x) = x (x – 2) (x2 – 1)2 ) 5° Tracer la courbe Cf ainsi que la droite D et la droite D '.
2 Soit la fonction g définie sur IR par : f(x) = 1 + x2 – x et Cf sa représentation graphique. dans le plan muni d'un repère orthonormal.
1° Démontrer que pour tout réel x, f(x) est positif (On pourra distinguer le cas où x est positif et le cas où x est négatif)
2° En admettant que la fonction x → 1 + x2 est dérivable sur IR et que sa dérivée est la fonction : x → x 1 + x2 démontrer que, pour tout réel x, f '(x) = – f(x)
1 + x2
. En déduire que la fonction f est décroissante sur IR 3° Etude de f en – ∞
Démontrer que la droite D1 d'équation " y = – 2 x" est asymptote à Cf . 4° Etude à + ∞
Démontrer que la courbe Cf admet une asymptote horizontale.
5° Déterminer l'équation de la tangente D2 à la courbe Cf au point d'abscisse 0.
6° Tracer la courbe Cf ainsi que les droites D1 et D2 .
1 1° Limite en – 1. "FI du type : 0 0 "
Pour tout réel x ≠ ± 1. x3 + x2
x2 – 1 = x2 (x + 1)
(x – 1) (x + 1) = x2 x – 1
x → –1lim x2 = 1 et lim
x → –1 x – 1 = – 2. Donc lim
x → –1 f(x) = – 1 2 Limite en + 1.
Pour tout réel x ≠ ± 1. x3 + x2
x2 – 1 = x2 (x + 1)
(x – 1) (x + 1) = x2
x – 1. On a lim
x → 1 x2 = 1
x → 1lim+f(x) = lim
x → 1+
x2
x – 1 = – ∞ et lim
x → 1– f(x) = lim
x → 1–
x2
x – 1 = + ∞ 2°
f(x) = x + 1 + x + 1
x2 – 1 ( Rm pour tout réel x ≠±1 , f(x) = x + 1 + 1 x – 1 )
x → +lim∞ f(x) – (x + 1) = lim
x → +∞
x + 1
x2 – 1 = lim
x → +∞
1
x – 1 = 0 et lim
x → –∞ f(x) – (x + 1) = 0.
La droite d'équation " y = x + 1 " est asymptote à Cf en + ∞ et en – ∞.
La position de Cf par rapport à D est déterminer par le signe de x + 1 x2 – 1 = 1
x – 1 (pour tout réel x ≠ ± 1.
On utilise l'expression f(x) = x + 1 + 1 x – 1 Pour tout réel x ≠ ± 1 f '(x) = 1 – 1
(x – 1)2 = x (x – 2) (x – 1)2
x – ∞ – 1 0 1 2 + ∞
f '(x) + + 0 – – 0 +
f 1 – ∞ 2
1 2
0
– ∞ + ∞
4
+ ∞
2 1 + x2 – x = ( 1 + x2 – x) ( 1 + x2 + x) 1 + x2 + x
= 1
1 + x2 + x . Si x ≤ 0 on a 1 + x2 > 0 et – x ≥ 0 donc 1 + x2 – x > 0
Si x ≥ on a 1 + x2 > 0 et x ≥ 0 donc 1 + x2 + x > 0 donc 1 1 + x2 + x
> 0. dans tout les cas f(x) > 0.
2° f '(x) = x 1 + x2
– 1 = x – 1 + x2 1 + x2
= f(x) 1 + x2
> 0 3° f(x) – (– 2 x) = 1 + x2 + x = 1
1 + x2 – x .
x → –lim∞ 1 + x2 = + ∞ et limx → –∞ – x = + ∞ donc limx → –∞ 1 + x2 – x = + ∞ , donc limx → –∞ f(x) – (– 2 x) = 0.
D1 est asymptote à Cf en – ∞.
4° f(x) = 1 1 + x2 + x
, lim
x → +∞ 1 + x2 = + ∞ et limx → +∞ x = + ∞, donc limx → +∞ f(x) = 0.
La droite d'équation "y = 0 " est asymptote à Cf en + ∞ .
x –∞ 1 + ∞
x – 1 – 0 +
x3 + x2 x2 – 1 – x3 + x
x2 + x – x2 + 1 x + 1
x + 1
x –∞ 1 + ∞
1 x – 1
– +
Cf au dessous Cf au dessus
