L1-MS2 - 2010/2011 - Examen du 21 juin 2011 - Session 2
Examen de Mathématiques pour les Sciences (MS2)
Durée: 2 heures Les documents, les calculatrices et les téléphones portables ne sont pas autorisés
Exercice 1 :
1. Factoriser surRle polynôme X3−8(vérier que 2 est une de ses racines).
2. Décomposer en éléments simples sur Rla fraction rationnelle X4+ 1
X3−8 (commencer par mettre en évi- dence sa partie entière).
3. Mettrex2+ 2x+ 4sous la forme(x+b)2+a2 aveca, b que l'on précisera.
4. En déduire la valeur de l'intégraleI = Z 0
−1
dx x2+ 2x+ 4.
5. Utiliser les questions précédentes pour trouver la valeur de l'intégrale :J = Z 0
−1
x4+ 1 x3−8dx. Exercice 2 :
1. Exprimer la dérivéetan0 de la fonction tangente (notée tan) en termes detan(seulement).
2. Utiliser cette formule pour déduire, suite à une intégration par parties, la valeur deI = Z π/4
0
xtan2xdx. Exercice 3 : On veut trouver l'ensemble de fonctions y : R → R de classe C1 qui vérient l'équation diérentielle d'ordre 1 :
(E) y0+ 3y= (x+ 3)e−2x
1. Si (E0) est l'équation sans second membre attachée à (E), trouver l'ensemble des solutionsy0 de (E0).
2. Trouver une solution particulière de (E) par la méthode de la variation de la constante.
3. En déduire la solution générale de (E).
Exercice 4 :
1. Donner le développement limité à l'ordre 5 enx0 = 0 des fonctionssin etcos. 2. Écrire la formule desin(2x) en fonction desinx etcosx.
3. En déduire le développement limité à l'ordre 5 enx0 = 0 de la fonctionx7→sin(2x).
4. Retrouver ce même développement limité (à l'ordre 5 enx0= 0) en développant directement la fonction x7→sin(2x) en x0 = 0.
Exercice 5 : [Hors barème]
Soit C2(R) l'espace vectoriel des fonctions y : R → R de classe C2 et soit, pour y ∈ C2(R), l'équation diérentielle d'ordre 2 :
(e) y00−2y0+y= 0.
1. Écrire et trouver les racines de l'équation caractéristique attachée à (e).
2. En déduire l'ensembleS des solutionsy de (e).
3. Sachant que S est un sous-espace vectoriel de C2(R), préciser sa dimension et donner une base de celui-ci.
