2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : tan x = sin x 

TD : Étude de la fonction tangente TS Objectif : étudier la fonction tangente notée tan et établir quelques propriétés

1. Résoudre, sur ] –  ; ] , l'équation cos x =0 ℝ

En déduire toutes les solutions , sur ,de cette équation.

2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : tan x = sin x 

cos x  ^pour x ∈ D avec D=ℝ−{ 

2 k ; k ∈ ℤ } On note C

sa courbe dans un repère orthonormé.

a. Étudier la parité de cette fonction.

b. Démontrer que la fonction tan est  – périodique .

c. Expliquer pourquoi on peut se contenter d'étudier la fonction sur I = [ ^{0;  2} [ ^.

3. Étudier les limites de la fonction tangente en 0

et en  2

–

. En déduire que C

admet une asymptote  dont on précisera la nature et l'équation.

4. Compléter le tableau suivant :

x 0 

6

 4

 3 tan  x 

5. Montrer que, pour tout x ∈ I : tan '  x = 1

cos

 x  =1 tan

 x  En déduire le tableau de variations de la fonction tangente sur I .

6. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C

au point d'abscisse 0 . b. Démontrer que pour tout x de I : tan  x x

( penser à étudier les variations de la fonction hx=tan x – x définie sur I ) c. En déduire la position relative de la courbe C

par rapport à sa tangente T .

7. Tracer, soigneusement, les droites  et T puis la courbe C

_. (se placer entre – 2 et 2  ) 8. On rappelle que pour tous réels a et b , on a les formules suivantes :

cos  a  b = cos  a  cos  b  – sin  a  sin  b  sin ab=sin a  cos bcos a sin b

En déduire une formule liant tan a b à tan a  et tan b (pour des réels a et b tels que a∈D, b∈D et a+b∈D)

9. Démontrer que pour tout a ∈ ] ^{0;  2} [ ^{, on a : tan a = 1} sin ^{– cos}  2a ^{2 a}  ^ En déduire la valeur exacte de tan  ^{ 8}  ^{et de tan}  ^{12 }  ^.

D'après le site « BACAMATHS »

2010©My Maths Space Page 1/1