(2 points) 1. Donner l'équation de la tangente de la fonction réelle := f x → x3 + ln(x2 + 1 au point ) d'abscisse x=2.
> restart:
f := x-> x^3+ln(x^2+1);
tgte:=x->D(f)(2)*(x-2)+f(2);tgte(x);
:=
f x → x3 + ln(x2 + 1) :=
tgte x → D f( )( )2 (x − 2) + f 2( ) − +
64 x 5
88
5 ln 5( ) (2 points) 2. Soit (un) la suite réelle donnée par récurrence :
=
u0 1, u1 = 1 et pour tout n entier naturel un + 2 = un + 1 + 2
n2un + 2 n2 1. Donner une valeur approchée de u20 (au millième près).
> restart:
rsolve({u(0)=1,u(1)=1,u(n+2)=u(n+1)/2+n^2*u(n)/(2*n^2+1)},u(n));
#maple ne donne pas u[n] en fonction de n
rsolve {u 0( ) = 1,u 1( ) = 1,u(n + 2) = 1 + },
2u(n + 1) n2u n( ) +
2 n2 1 u n( )
> u[0]:=1:u[1]:=1:
for n from 0 to 18 do
u[n+2]:=u[n+1]/2+n^2*u[n]/(2*n^2+1) od:
evalf(u[20]);
0.5072274487 (2 points) 3. Soit (un) la suite réelle donnée par récurrence :
=
u0 0, u1 = 1 et pour tout n entier naturel un + 2 − 4 un = 2n. Donner le terme général un en fonction de n.
> restart:
rsolve({u(n+2)-4*u(n) = 2^n,u(0)=0,u(1)=1},u(n));
− +
2n 16
3 (-2)n 16
n + 8
1 8 2n
(2 points) 4. L'usage du package linalg de maple est vivement conseillé pour cet exercice !
Soit la matrice A =
1 1 1
1 2 3
1 4 9
. Calculer A2 − 4 A + I3 où I3. Donner l'inverse de la matrice A.
> restart:
with(linalg):
A:= matrix([[1, 1, 1], [1, 2, 3], [1, 4, 9]]);
evalm(A^2-4*A+1);
inverse(A);
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
:=
A
1 1 1
1 2 3
1 4 9
0 3 9
2 10 22 10 29 59
3 -5 2
1 2
-3 4 -1
1 -3 2
1 2
(2 points) 5. Résoudre le système suivant en fonction du paramètre a réel =
+ +
x y z 1, 2 x + + 3 y 4 z = 1, et 4 x + + 2 y z = a.
> restart:
solve({x+y+z=1,2*x+3*y+4*z=1,4*x+2*y+z = a},{x,y,z});
{x = − + 4 a,y = 11 − 2 a,z = − + 6 a}
(2 points) 6. Calcluer d
⌠
⌡
0 x
t + t 1 t.
> restart:
int(sqrt(t)/(t+1),t = 0 .. x);
−
2 x 2arctan( x)
(2 points) 7. Soit la surface A délimitée inférieurement par la courbe d'équation y = x3 et supérieurement par la courbe d'équation y = x2 pour des valeurs de x comprises entre 0 et 1.
Donner les coordonnées du centre de gravité de la surface A.
> restart:
aire:=int(int(1,y=x^3..x^2),x=0..1);
momentx:=int(int(x,y=x^3..x^2),x=0..1);
momenty:=int(int(y,y=x^3..x^2),x=0..1);
xG:=momentx/aire;#abscisse du centre de gravité yG:=momenty/aire;#ordonnée du centre de gravité
:=
aire 1 12 :=
momentx 1 20 :=
momenty 1 35 :=
xG 3 5
:=
yG 12 35 (2 points) 8. Résoudre D f( )( )x − x ( )f x = x.
> restart:
dsolve(D(f)(x)-x*f(x) = x,f(x));
= ( )
f x − + 1 e
x2
2 _C1
(4 points) 9. Représenter graphiquement la courbe d'équations paramétriques =
( )
x t ln t( ) + t 1 = ( )
y t ln( t2 − 1 ,) pour t dans R.
Donner l'équation de la tangente en t = 1 2. Donner l'équation de l'asymptote en t = 1.
> restart:
x:=t->ln(abs(t))/(t+1);
y:=t->ln(abs(t^2-1));
plot({[x(t),y(t),t=-5..-1.1], [x(t),y(t),t=-0.9..-0.1], [x(t),y(t),t=0.1..0.9], [x(t),y(t),t=1.1..5]});
>
:=
x t → ln t( ) + t 1 :=
y t → ln( t2 − 1 )
> Y=solve((X-x(1/2))/(Y-y(1/2))=D(x)(1/2)/D(y)(1/2),Y);#tangente
= Y −
+ − −
3 X 2ln 2( ) 3
ln 3
4 ln 2( )
ln 3 4 +
3 ln 2( )
> limit(x(t),t=1);limit(y(t),t=1);#asymptote d'équation x=0 0
−∞
> FIN
Warning, premature end of input
