> restart:
(2 points) Décomposer la fonction rationnelle := f x → 1 − +
x4 2 x2 1 en somme d'éléments simples de première espèce.
> convert(1/(x^4-2*x^2+1),parfrac,x);
+ − +
1 4 (x + 1)2
1 4 (x − 1)2
1 4 (x − 1)
1 4 (x + 1)
(2 points) Calculer d
⌠
⌡
0
∞
(cos x( ) − sin 3 x( ))e(−2 x) x.
> int((cos(x)-sin(3*x))*exp(-2*x),x=0..infinity);
11 65
(2 points) Donner la décomposition de 15 014 664 en produit de facteurs premiers.
> with(numtheory):ifactor(15014664);
( )
2 3 3( )2 7( ) 31( )3
> restart:
EXERCICE 1 (4 points)
Soient les suites (un) et (vn) définies de la façon suivante : =
u0 3, v0 = 0, un + 1 = unvn +
4 1 et vn + 1 =
+ + un vn 1
3 .
1) Calculer u20 et v20 de façon approchée.
2) Les suites (un) et (vn) sont-elles adjacentes ?
> rsolve({u(0)=3,v(0)=0,u(n+1)=u(n)*v(n)/4+1,v(n+1)=(u(n)+v(n)+1)/
3},{u(n),v(n)});#maple ne peut donner les suites (u[n]) et (v[n]) directement en fonction de n
rsolve {u 0( ) = 3,v 0( ) = 0,u(n + 1) = 1 + , } 4u n( )v n( ) 1 v(n + 1) = 1 + +
3u n( ) 1
3v n( ) 1 3 ,
{u n( ),v n( )}
> restart:
u[0]:=3:v[0]:=0:
for i from 0 to 19 do u[i+1]:=u[i]*v[i]/4+1;
v[i+1]:=(u[i]+v[i]+1)/3:
od:
evalf(u[20]);evalf(v[20]);
1.438381046 1.219157235
> restart:
solve({u=u*v/4+1,v=(u+v+1)/3},{u,v});#recherche de point fixe evalf(solve(-7*x+x^2+8,x));
5.561552813, 1.438447187;#valeurs possibles comme limites pour la suite (u[n])
5.561552813/2+.5, 1.438447187/2+.5;#valeurs possibles comme limites pour la suite (v[n])
{u = RootOf(−7 _Z + _Z2 + 8,label = _L1),v = 1 + } 2RootOf(−7 _Z + _Z2 + 8,label = _L1) 1
2 ,
5.561552813 1.438447187 ,
5.561552813 1.438447187 ,
3.280776406 1.219223594
Il est aisé de montrer, par récurrence, que les suite (un) et (vn) ont leurs valeurs comprises entre 0 et 2 à partir du rang 1.
Par le théorème du point fixe, et l'encadrement précédent, si la suite (un) converge, sa limite est proche de 1.438447187 et si la suite (vn) converge, sa limite est proche de 1.219223594. Les limites de ces deux suites ne peuvent donc coïncider et les suites ne peuvent, par conséquent, pas être adjacentes.
> restart:
EXERCICE 2 (6 points) Géométrie plane
On se place dans un repère orthonormé direct (O,i,j).
1) Donner une procédure permettant de retourner le centre de gravité G d'un triangle XYZ quelconque :
- les entrées sont les points X, Y et Z stockés dans maple comme des 2-listes des coordonnées : X:=[xx,yx];Y:=[xy,yy];Z:=[xz,yz];
- la sortie est le point G stocké dans maple comme une 2-liste des coordonnées : G:=[xg,yg];
2) Donner une procédure permettant de retourner l'image N du point M dans la rotation de centre Ω et d'angle θ :
- les entrées sont les points M et Ω stockés dans maple comme des 2-listes des coordonnées : M:=[xm,ym];Ω:=[xo,yo];Z:=[xz,yz]; et l'angle θ, un réel ;
- la sortie est le point N stocké dans maple comme une 2-liste des coordonnées : N:=[xn,yn];
3) Soit ABC un triangle quelconque de sens direct.
On construit les points P, Q et R tels que les triangles BPC, CQA et ARB soient des triangles équilatéraux directs.
Soit U le centre de gravité du triangle BPC, V le centre de gravité du triangle CQA et W le centre de gravité du triangle ARB.
On suppose les points A, B et C stockés dans maple comme des 2-listes des coordonnées : A:=[xa,ya];B:=[xb,yb];C:=[xc,yc];
a) Donner les points P, Q et R stockés dans maple comme des 2-listes des coordonnées : P:=[xp,yp];Q:=[xq,yq];R:=[xr,yr];
b) En déduire les points U, V et W stockés dans maple comme des 2-listes des coordonnées : U:=[xu,yu];V:=[xv,yv];W:=[xw,yw];
c) Montrer que le triangle UVW est équilatéral.
d) Montrer que les triangles UVW et ABC ont même centre de gravité.
> CdG:=proc(X,Y,Z);
RETURN([simplify((X[1]+Y[1]+Z[1])/3),simplify((X[2]+Y[2]+Z[2])/3 )])
end;
CdG := proc(X Y Z, , )
RETURN([simplify(1 3 / ∗X 1[ ] + 1 3 / ∗Y 1[ ] + 1 3 / ∗Z 1[ ]),
( )
simplify 1 3 / ∗X 2[ ] + 1 3 / ∗Y 2[ ] + 1 3 / ∗Z 2[ ] ] ) end proc
> ROTAT:=proc(M,Omega,theta);
RETURN([simplify(Omega[1]+cos(theta)*(M[1]-Omega[1])-sin(theta)*
(M[2]-Omega[2])),simplify(Omega[2]+cos(theta)*(M[2]-Omega[2])+si n(theta)*(M[1]-Omega[1]))])
end;
ROTAT := proc(M,Ω θ, )
RETURN([simplify(Ω[ ]1 + cos( )θ ∗(M 1[ ] − Ω[ ]1 ) − sin( )θ ∗(M 2[ ] − Ω[ ]2 )),
( )
simplify Ω[ ]2 + cos( )θ ∗(M 2[ ] − Ω[ ]2 ) + sin( )θ ∗(M 1[ ] − Ω[ ]1 ) ] ) end proc
> A:=[xa,ya];B:=[xb,yb];C:=[xc,yc];
P:=ROTAT(B,C,Pi/3);Q:=ROTAT(C,A,Pi/3);R:=ROTAT(A,B,Pi/3);
:=
A [xa ya, ] :=
B [xb yb, ] :=
C [xc yc, ] :=
P
+ − + , xc
2 xb
2
3 yb 2
3 yc
2 yc + + −
2 yb
2
3 xb 2
3 xc 2 :=
Q
+ − + , xa
2 xc
2
3 yc 2
3 ya
2 ya + + −
2 yc
2
3 xc 2
3 xa 2 :=
R
+ − + , xb
2 xa
2
3 ya 2
3 yb
2 yb + + −
2 ya
2
3 xa 2
3 xb 2
> U:=CdG(P,B,C);V:=CdG(Q,C,A);W:=CdG(R,A,B);
:=
U
+ − + , xc
2 xb
2
3 yb 6
3 yc
6 yc + + −
2 yb
2
3 xb 6
3 xc 6 :=
V
+ − + , xa
2 xc
2
3 yc 6
3 ya
6 ya + + −
2 yc
2
3 xc 6
3 xa 6 :=
W
+ − + , xb
2 xa
2
3 ya 6
3 yb
6 yb + + −
2 ya
2
3 xa 6
3 xb 6
> Wequi:=ROTAT(V,U,Pi/3);Wequi-W;#le triangle UVW est équilatéral
:=
Wequi
+ − + , xb
2 xa
2
3 ya 6
3 yb
6 yb + + −
2 ya
2
3 xa 6
3 xb 6 [0 0, ]
> Gabc:=CdG(A,B,C);Guvw:=CdG(U,V,W);Guvw-Gabc;#ABC et UVW ont même centre de gravité
:=
Gabc
+ + , xc
3 xb
3 xa
3 yc + + 3
yb 3
ya 3
:=
Guvw
+ + , xc
3 xb
3 xa
3 yc + + 3
yb 3
ya 3 [0 0, ]
> restart:
EXERCICE 3 (4 points)
Trouver 10 entiers naturels en progression arithmétique qui soient tous premiers (i.e. trouver a entier naturel et r entier naturel tels que a, a+r, a+2r, ... a+9r soient des nombres premiers).
Remarques :
a est premier -- on a choisi a étant égal à ithprime(n) -- ; r est pair (car sinon a+r serait pair) ;
r=2 est impossible (car sinon parmi a, a+r et a+2r, l'un serait divisible par 3) ;
r=4 est impossible (car sinon parmi a, a+r, ..., a+3r et a+4r, l'un serait divisible par 5) ; r=6 est impossible (car sinon parmi a, a+r, ..., a+5r et a+6r, l'un serait divisible par 7) ; r=8 est impossible (car sinon parmi a, a+r, ..., a+7r et a+8r, l'un serait divisible par 9) ...
> for n from 2 to 100 do
for r from 10 to 1000 by 2 do
if isprime(ithprime(n)+r)=true and isprime(ithprime(n)+2*r)=true and isprime(ithprime(n)+3*r)=true and
isprime(ithprime(n)+4*r)=true
and isprime(ithprime(n)+5*r)=true and isprime(ithprime(n)+6*r)=true
and isprime(ithprime(n)+7*r)=true and isprime(ithprime(n)+8*r)=true
and isprime(ithprime(n)+9*r)=true then print(ithprime(n),r) fi;
od:od:
, 199 210
> seq(199+210*i,i=0..9);
, , , , , , , , ,
199 409 619 829 1039 1249 1459 1669 1879 2089
Ceci nous indique que 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 sont 9 nombres premiers en progression arithmétique.
> isprime(199+210*10);
false
> Fin (Philippe RYCKELYNCK & Denis VEKEMANS)
Error, missing operator or `;`
