> restart:(2 points) Calculer d⌠⌡

(2 points) Calculer d

⌡





2

x − x⁴ 1

x.

> int(x/(x^4-1),x=2..3);

1 −

2ln 2( ) 1 4ln 3( ) (2 points) Résoudre  − =

 



d d

xf x( ) x ( )f x x³.

> dsolve(diff(f(x),x)-x*f(x)=x^3,f(x));

= ( )

f x − − + x² 2 e













x2

2 _C1

(2 points) Représenter graphiquement la courbe d'équations paramétriques =

( )

x t 1

− t² 1 = ( )

y t t

− t² 1, pour t dans [-2,2].

> plot({[1/(t^2-1),t/(t^2-1),t=-0.9..0.9], [1/(t^2-1),t/(t^2-1),t=-2..-1.1],

[1/(t^2-1),t/(t^2-1),t=1.1..2]});

>

> restart:

EXERCICE 1 (4 points) Minimisation d'une aire.

Soit (O,i,j) un repère orthonormé.

On considère l'ensemble Γ des points M( ,x (x − 2)³) pour x variant entre 0 et 2.

1) Soit T_M la tangente en M à l'ensemble Γ. Donner l'équation de la tangente T_M.

2) La tangente T_M coupe l'axe (Oi) en un point A et l'axe (Oj) en un point B. Donner les coordonnées des points A et B.

3) Donner l'aire du triangle OAB en fonction de x.

4) Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire extrémale.

5) Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire minimale.

> f:=x->(x-2)^3;

M:=[x,f(x)];#coordonnées de M diff(f(x),x)*(X-x)+f(x);

solve(T(X)=0,X);#abscisse du point A A:=[2/3*x+2/3,0];

T(0);#ordonnée du point B B:=[0,3*(2-x)^2*x+(2-x)^3];

Aire:=x->simplify(1/2*(2/3*x+2/3)*(3*(2-x)^2*x+(2-x)^3));#la fonction Aire donne l'aire du triangle OAB en fonction de x simplify(diff(Aire(x),x));

solve(diff(Aire(x),x)=0,x);#les points critiques sont en 0 (bord gauche), en 2 (bord droit), et en 1/2 ;

limit(Aire(x),x=0,right);#en 0, la limite est 8/3 ; limit(Aire(x),x=2,left);#en 2, la valeur est 0 ;

Aire(1/2);#en 1/2, la valeur de l'Aire est 27/8 est un extremum local

(D@@2)(Aire)(1/2);#en 1/2, la valeur de l'Aire est 27/8 est un maximum local qui est aussi global par synthèse

:=

f x → (x − 2)³ :=

M [x (, x − 2)³] +

3 (x − 2)²(X − x) (x − 2)³ :=

T X →  +

 



d d

xf x( ) (X − x) f x( ) 2 x +

3 2 3 :=

A



 



+ , 2 x

3 2 3 0

−3 (x − 2)²x + (x − 2)³ :=

B [0,3 (2 − x)²x + (2 − x)³] :=

Aire x → 

 



simplify 1 2



 



2 + 3x 2

3 (3 (2 − x)²x + (2 − x)³) − + −

8

3x³ 4 x² 8 3 4 x , ,

-1 1 2 2 8 3 0 27

8 -6

> restart:

EXERCICE 2 (6 points)

Soit u l'endomorphisme de R^4 ayant pour matrice A =





















1 1 1 1

a 1 1 1

0 a 1 1

0 0 a 1

.

1) Discuter la bijectivité de u (c'est-à-dire de l'inversibilité de la matrice A) en fonction du

paramètre réel a : dire pour quelle(s) valeur(s) de a la matrice A est inversible et donner, pour ces valeurs, la matrice inverse de A.

2) Dans chacun des cas où u n'est pas bijective (c'est-à-dire lorsque la matrice A n'est pas inversible), donner le noyau (une base et sa dimension), l'image (une base et sa dimension) de u.

3) a)Dans le cas où a=1, donner la matrice A⁴.

b) Dans le cas où a est quelconque, donner la matrice

− − − −

A⁴ 4 A³ 3 (a − 2 A) ² 2 (a − 1 () a − 2 A) (a − 1)³I₄.

> with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> A:=matrix(4,4,[1,1,1,1,a,1,1,1,0,a,1,1,0,0,a,1]);

:=

A





















1 1 1 1

a 1 1 1

0 a 1 1

0 0 a 1

En calculant le déterminant

> factor(det(A));

−(a − 1)³ ou par la décomposition LU,

> LUdecomp(A,L='l',U='u');





















1 1 1 1

0 1 − a 1 − a 1 − a 0 0 1 − a 1 − a

0 0 0 1 − a

> L:=evalm(l);U:=evalm(u);multiply(L,U):#on vérifie A=LU

:=

L





























1 0 0 0

a 1 0 0

0 − a

−

a 1 1 0

0 0 − a

− a 1 1

:=

U





















1 1 1 1

0 1 − a 1 − a 1 − a 0 0 1 − a 1 − a

0 0 0 1 − a

on s'apperçoit que les problèmes concernant l'inversibilité de la matrice A ne peuvent provenir

de la décomposition LU









































− 1

− a 1

1 −

a 1 0 0

− a

− + 1 2 a a²

1 − + 1 2 a a²

1 −

a 1 0

− a²

− + − 1 3 a 3 a² + a³

a

− + − 1 3 a 3 a² + a³

1 − + 1 2 a a²

1 − a 1 a³

− + − 1 3 a 3 a² + a³ − a²

− + − 1 3 a 3 a² + a³ − a − +

1 2 a a² − 1 − a 1 Le cas a = 1.

> a:=1;A:=matrix(4,4,[1,1,1,1,a,1,1,1,0,a,1,1,0,0,a,1]);

:=

a 1

:=

A





















1 1 1 1

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

> colspace(A);# l'image de A

rank(A);# le rang ou la dimension de l'image {[1 1 0 0, , , ],[0 0 1 0, , , ],[0 0 0 1, , , ]}

3

> nullspace(A);# le noyau de A nops(nullspace(A));

{[0 0 -1 1, , , ]} 1

> multiply(multiply(multiply(A,A),A),A);

unassign('a');

A:=matrix(4,4,[1,1,1,1,a,1,1,1,0,a,1,1,0,0,a,1]);

id:=matrix(4,4,[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1]);

#Première version : simplify(

matadd(matadd(matadd(matadd(multiply(multiply(multiply(A,A),A),A ),

scalarmul(multiply(multiply(A,A),A),-4)), scalarmul(multiply(A,A),-3*(a-2))),

scalarmul(A,-2*(a-1)*(a-2))), scalarmul(id,-(a-1)^3)));

#Seconde version :

evalm(A^4-4*A^3-3*(a-2)*A^2-2*(a-1)*(a-2)*A-(a-1)^3*Id);

simplify(evalm(A^4-4*A^3-3*(a-2)*A^2-2*(a-1)*(a-2)*A-(a-1)^3*id) );

+ + +

1 a (2 + a a) (3 + + 2 a (3 + a a a) ) 4 + + 3 a (2 + a a) + (3 + a a) + (6 + 7 a a)

[ , ,

+ + + +

10 10 a (2 + a a) (3 + a a) (10 + 3 a a) ,20 + 13 a + (2 + a a) + (3 + a a) ]

+ +

2 a (2 a + 1 a) (4 a + + 1 (2 a + 2 a a) )

[ ,

+ + + +

6 a (2 a + 1 a) 1 (2 a + 2 a) (6 a + + 3 (3 + a a a ,) )

+ + + + +

12 a (2 a + 1 a) 4 (2 a + 2 a) (3 + a a) (6 + 7 a a ,)

+ + + +

19 a (2 a + 1 a) 10 (2 a + 2 a) (3 + a a ]) +

3 a² (a² + + 2 a (2 a + 1 a a) ) 4 a² + + 2 a (2 a + 1 a) + (a² + + + 4 a 1 (2 + a a a) )

[ , ,

+ + + + +

5 a² 6 a (2 a + 1 a) 1 (2 + a a) (a² + + 5 a 3 a ,)

+ + + +

6 a² 11 a (2 a + 1 a) 4 (2 + a a ])

4 a³ a³ + 3 a² + (a² + + 2 a (1 + a a a) ) a³ + 4 a² + + 2 a (1 + a a) + (1 + + a² 3 a a)

[ , , ,

+ + + +

a³ 5 a² 5 a (1 + a a) 1 ]

:=

A





















1 1 1 1

a 1 1 1

0 a 1 1

0 0 a 1

:=

id





















1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1





















0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

(1 + a)² − 2 (2 + a a) + (3 + a a) ² − − + 4 4 a (− + 3 a 6 () 1 + a) − 2 (a − 1 () a − 2) [

(a − 1)³Id

− ,(1 + a () 2 + a) + (2 + a () 2 a + 1) − 2 (3 + a a) + 4 a² − − 12 8 a (− + 3 a 6 () 2 + a) 2 (a − 1 () a − 2)

+ − ,(1 + a () 3 + a) + (2 + a () 2 a + 2) (3 + a () 2 a + 1) 20 a 24 (− + 3 a 6 () 3 + a) 2 (a − 1 () a − 2)

+ − − + − ,

− − 8 16 a + 2 (2 + a () 3 + a) − 2 (a − 1 () a − 2 ])

− + − + −

2 (1 + a a) 2 (2 a + 1 a) (2 a + 2 a) ² 8 a 2 (− + 3 a 6 a) 2 (a − 1 () a − 2 a)

[ ,

2 (2 + a a) + (2 a + 1)² − 2 (2 a + 2 a) + (3 + a a) ² − 16 a − + 4 (− + 3 a 6 () 2 a + 1) 2 (a − 1 () a − 2) (a − 1)³Id

− − ,

− − + −

2 (2 a + 1 () 2 a + 2) 24 a 12 (− + 3 a 6 () 2 a + 2) 2 (a − 1 () a − 2),(1 + a () 3 + a) (2 + a () 2 a + 2) (3 + a () 2 a + 1) 20 a 24 (− + 3 a 6 () 3 + a) 2 (a − 1 () a − 2)

+ + − − + − ]

− + +

a²(1 + a) 8 a² (2 a + 1 a) ² (− + 3 a 6 a) ²

[ ,

− − + −

2 a²(2 + a) 4 a² 8 a 2 (− + 3 a 6 a) 2 (a − 1 () a − 2 a) ,−2 (2 + a a) + (2 a + 1)² 2 (2 a + 2 a) (3 + a a) ² 4 a² 16 a 4 (− + 3 a 6 () 2 a + 1) 2 (a − 1 () a − 2)

+ + − − − + −

(a − 1)³Id

− ,(1 + a () 2 + a) + (2 + a () 2 a + 1) + 2 (3 + a a) − 20 a − 12 (− + 3 a 6 () 2 + a) 2 (a − 1 () a − 2)

+ − ]

0 a²(1 + a) − 8 a² + (2 a + 1 a) ² + (− + 3 a 6 a) ²

[ , ,

−2 (1 + a a) + 2 (2 a + 1 a) + (2 a + 2 a) ² − 4 a² − + 8 a 2 (− + 3 a 6 a) − 2 (a − 1 () a − 2 a)

(a − 1) Id

− ]





















0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

> restart:

EXERCICE 3 (4 points)

Trouver un entier naturel n tel que 2ⁿ ait la somme de ses chiffres égale à 1366.

> sochiffres:=proc(n) local N,s;

N:=n: s:=0: while N<>0 do s:=s+irem(N,10); N:=iquo(N,10) od;

RETURN(s);

end;

sochiffres := proc( )n localN s, ;

:=

N n;

:=

s 0;

whileN ≠ 0dos := s + irem(N 10, );N := iquo(N 10, )end do; ( )

RETURN s end proc

> n:=0:

while sochiffres(2^n)<>532 do n:=n+1

od:

n;

sochiffres(2^n);

360 532

> Fin (Philippe RYCKELYNCK & Denis VEKEMANS)

Error, missing operator or `;`