DETERMINANT DE DEUX VECTEURS 2nde
On se place dans un repère orthonormé (O ; I, J) du plan.
Définition
~
uet~vsont deux vecteurs de coordonnées respectives¡ x; y¢
et¡ x′; y′¢
. Ledéterminantde~uet~vest le réelx y′−x′y. On le note det(~u,~v).
Interprétation géométrique du déterminant
A et B sont les points tels que~u=−→
OA et ~v=−→
OB. Alors |det(~u,~v)| =2×Aire(OAB)
−
→u
−
→v
b
O
b A
b
B
Démonstration dans un cas particulier (voir le fichiergeogebrajoint) :
Aire(OAB) = Aire(OBB’)−Aire(OAA’)−Aire(AA’B’B)
= x′y′ 2 −x y
2 −(y+y′)(x′−x) 2
= x′y′−x y−y x′+y x−y′x′+y′x 2
= x y′−x′y 2
= det(~u,~v) 2
Remarque :
SoitCle point tel que le quadrilatèreO AC B soit un parallélogramme. Alors |det(~u,~v)| =Aire(OACB)