CPBx Bio S4 - Mathématiques
(N. Mazzari, N. Popoff) DS 26/03/2019
Calmez vous, respirez et lisez toutes les questions au moins deux fois. Les livres et docu- ments (notes de cours, de TD, etc.) sont interdits, ainsi que les téléphones portables et le blanco. Vous pouvez utiliser la calculatrice et la fiche que vous avez préparée.Chacune de vos réponses doit étre argumentée. Le barème est entre parenthèses (mais peut subir des petites modifications).
Exercice 1 [8 points]
(a) Calculer
I = Z 3
2
1 t2−2 dt.
(b) L’intégrale
Z 3
√2
1 t2−2 dt est-elle convergente ?
(c) Calculer
Z 1 0
1 (1 +t2)2dt à l’aide du changement de variable t= tanu.
Exercice 2 [8 points]
La variable aléatoire X suit une loi de densité
f(x) =
(x+b si0≤x≤1 0 sinon
(a) Calculer b, puis donner la fonction de répartition deX.
(b) Calculer P(X∈[14,12]).
(c) Soit Y =X2. Calculer la fonction de répartition de Y. (d) Donner la densité de Y. Quelque chose vous choque-t-il ?
Exercice 3 [8 points]
Soient X, Y deux variables aléatoires réelles dont la densité conjointe est f : R2 → R, la fonction définie par
f(x, y) =
(ae−x−y si x≥0ety ≥0,
0 sinon.
(a) Calculer a.
(b) Donner les densités marginales des variables aléatoires X etY. (c) Calculer E(X) ainsi queV(X), l’espérance et la variance deX.
(d) Démontrer que X etY sont indépendantes. CalculerP((X >1)∪(Y >2)).
