Année Scolaire 2020 – 2021
MATHÉMATIQUES MPSI
3DS N˚7
Samedi 20/03/2021 (4h)
Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les
résultats doivent être encadrés ou soulignés à larègle.
La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.
Problème 1 : Algèbre (itérés d’un endomorphisme)
Partie I : Étude d’un endomorphisme
SoitEun espace vectoriel surK(Kdésigne un sous-corps deC)et f ∈L(E)vérifiant la relation : f2=12(f +id) (R)
oùiddésigne l’identité deE. On rappelle que f0=idpour tout n∈N, fn+1=f ◦fn. On noteF=ker(f −id)etG=ker(f +12id).
Q1) a) On suppose que cette question qu’il existe un réelαtel quef =α·id.
Déduire de la relation (R) les valeurs possibles deα. Montrer que Vect£
(fn)n∈N¤
=Vect [id] dansL(E).
En déduire une base et la dimension de Vect£
(fn)n∈N¤
(justifier).
b) On suppose qu’il n’existe pas de réelαtel quef =α·id.
Montrer que la famille (id,f) est libre dansL(E).
Montrer que Vect£
(fn)n∈N¤
=Vect£ id,f¤
dansL(E).
En déduire une base et la dimension de Vect£
(fn)n∈N¤
(justifier).
Q2) Déduire de la relation (R) quef ∈GL(E) et exprimer f−1en fonction def et de id.
Q3) a) Décomposer la fraction rationnelle 1
X2−12X−12 en éléments simples dansC[X].
b) En déduire deux polynômesaetb(à préciser) telles que 1=a(X−1)+b(X+12).
Dans la suite on note p=23(f +12id)et q= −23(f −id).
Q4) a) Justifier quepetqsont des endomorphismes de E, que F=ker(q) et G=ker(p).
1
b) Établir les relations suivantes :
p+q=id ;p−12q=f ;p◦q=q◦p=0 ;f ◦p=p◦f =pet f ◦q=q◦f = −12q.
c) Montrer que Im(p)=ker(q)=ker(p−id) et Im(q)=ker(p)=ker(q−id).
d) En déduire quepetqsont des projecteurs, préciser sur quoi et parallèlement à quoi.
e) Justifier que E=F⊕G.
Q5) On se propose de calculer fn(les itérés de f ) par plusieurs méthodes.
a) Méthode 1.
Montrer que∀n∈N, fn=¡
p−12q¢n
=p+¡
−12¢n
q.
En déduire l’expression de fnen fonction def et de id.
b) Méthode 2.
i) Montrer que∀n∈N,∃an,bn∈K,fn=an·f +bn·id. On préciseraa0,a1,b0,b1, ainsi que les expressions dean+1etbn+1en fonction deanetbn.
ii) Prouver que pourn∈N,an+2=12an+1+12an.
iii) En déduire l’expression deanpuis celle debnen fonction den. Conclure
Partie II : Une application
Soit f : R3→R3définie par f(x,y,z)=(−2x+3y−32z;−12y; 3x−6y+52z).
Q6) a) Montrer quef ∈L(R3).
b) Montrer quef2=12(f +id).
On pourra donc utiliser les résultats de la partie I.
c) Déterminer F=ker(f −id) et G=ker(f +12id) (on en donnera une base).
On adopte les mêmes notations que dans la partie I : p=23(f +12id)et q= −23(f −id).
Q7) Déterminer pour (x,y,z)∈R3les expressions dep(x,y,z) etq(x,y,z).
Q8) Soientu,v etw trois suites définies paru0,v0,w0∈Ret pourn∈N,
un+1= −2un+3vn−3 2wn vn+1= −1
2vn
wn+1=3un−6vn+5 2wn
.
En remarquant que pour toutn, f(un,vn,wn)=(un+1,vn+1,wn+1), déterminer les expressions de un,vnetwnen fonction den, deu0,v0, etw0.
Q9) On considère trois fonctionsu,v,w: R→Rdérivables surRet telles que :
∀t∈R,
u0(t)= −2u(t)+3v(t)−3 2w(t) v0(t)= −1
2v(t)
w0(t)=3u(t)−6v(t)+5 2w(t)
.
avecu(0)=u0∈R,v(0)=v0∈Retw(0)=w0∈R.
Pourt∈R, on posep(u(t),v(t),w(t))=(a1(t),b1(t),c1(t)) etq(u(t),v(t),w(t))=(a2(t),b2(t),c2(t)).
2
a) À l’aide de la Q7, justifier que les fonctionsa1, b1, c1, a2, b2, c2sont dérivables surR, et montrer que pour t ∈ R, p(u0(t),v0(t),w0(t))= (a01(t),b10(t),c10(t)) et q(u0(t),v0(t),w0(t))= (a02(t),b02(t),c02(t)).
b) Déduire de la relationp◦f =p, que∀t∈R, (a01(t),b10(t),c10(t))=(a1(t),b1(t),c1(t)).
En déduire quep(u(t),v(t),w(t))=et·p(u0,v0,w0).
c) Déduire de la relationq◦f = −12q, que∀t∈R, (a20(t),b02(t),c20(t))= −12(a2(t),b2(t),c2(t)).
En déduire queq(u(t),v(t),w(t))=e−t2·q(u0,v0,w0).
d) En déduire les expressions deu(t),v(t) etw(t) en fonction det,u0,v0etw0.
Problème 2 : Analyse
Les deux parties sont indépendantes.
Partie I : Développements ternaires
On noteTl’ensemble des suites réelles t=(tn)n∈N∗à valeurs dans{0; 1; 2}, c’est à dire :∀n∈N∗,tn∈{0; 1; 2}.
On désigne par`∞l’ensemble des suites réelles u=(un)n∈N∗bornées.
Q1) Montrer que`∞est un espace vectoriel surR.
Q2) Pouru=(un)n∈N∗∈`∞, démontrer que la série de terme général u3nn est convergente.
On pose alorsσ(u)=+∞P
n=1 un
3n. Q3) Montrer que l’applicationσest une forme linéaire sur`∞.
Q4) Montrer que sit=(tn)n∈N∗∈T, alors le réelσ(t) est dans l’intervalle [0 ; 1].
Q5) t=(tn)n∈N∗ett0=(tn0)n∈N∗les éléments de T définis par :
t1=1,t10=0 et∀n>1,tn=0,tn0 =2.
Calculerσ(t) etσ(t0). L’applicationσest-elle injective sur T ?
On fixe x∈[0 ; 1[. On définit une suite t(x)=(tn(x))n∈N∗en posant :
∀n∈N∗, tn(x)= b3nxc −3¥
3n−1x¦ .
Q6) Démontrer que la suitet(x) est dans l’ensemble T.
Q7) On définit deux suites réelles (xn)n∈Net (yn)n∈Npar :
∀n∈N∗,xn=b33nnxc etyn=xn+31n.
a) Démontrer que les suites (xn)n∈Net (yn)n∈Nsont adjacentes et de limitex.
b) En déduire quex=+∞P
n=1 tn(x)
3n (la suite (tn(x))n∈N∗est le développement ternaire propre dex).
c) Que dire alors de l’application T → [0 ; 1]
u 7→ σ(u)
?
Q8) a) Écrire en langage python la fonctionfloat2Tern(n,x) d’arguments un naturel non nul n et un flottantx ∈[0 ; 1], et qui renvoie la liste des n premiers chiffres t1(x), . . . ,tn(x) du développement ternaire propre dex. On pourra utiliser la fonctionfloordu modulemathet on optimisera le calcul des puissances de 3.
Par exemplefloat2Tern(4,0.5)renvoie[1, 1, 1, 1].
3
b) Écrire en langage python la fonction tern2Float(`) d’argument une liste`d’entiers de {0, 1, 2} (supposée complétée avec des 0 pour avoir un élément de T), et qui renvoie le flottant x=σ(`).
Par exempletern2Float([1,1,1,1])renvoie 0.493827...
Partie II : Produit de deux séries géométriques Q9) Montrer que la série P
n∈Nznconverge si et seulement si|z| <1 (z∈C), et que sa somme vaut1−z1 . Q10) Soientz1etz2deux complexesdistincts et de module strictement inférieur à1.
a) Décomposer dansC(X) la fraction 1
(X−z1)(X−z2). b) Montrer que
µ+∞
P
n=0
z1n
¶
× µ+∞
P
n=0
zn2
¶
=+∞P
n=0
zn+12 −zn+11 z2−z1 . c) En déduire que
µ+∞
P
n=0
z1n
¶
× µ+∞
P
n=0
zn2
¶
=+∞P
n=0
µ n P
k=0
z1kz2n−k
¶ (R).
Q11) Soitz∈Ctel que|z| <1. Pourt∈[0 ; 1], on posef(t)=1−t z1 . Soitn∈N∗. a) Montrer quef est définie et dérivable sur [0 ; 1].
b) Montrer quef(t)= Pn
k=0
(t z)k+zn+11t−n+1t z. c) En calculantf0(1), montrer que :
z (1−z)2=
n
P
k=1
kzk+zn+1 (n+1)(1−z)+z (1−z)2 . d) En déduire que la série P
k∈N∗kzkest convergente de somme(1−z)z 2, puis que :
+∞P
k=1
kzk−1= µ+∞
P
k=0
zk
¶2
.
e) Montrer que la relation (R) obtenue en Q10creste valable lorsquez2=z1. –FIN–
4
