Année Scolaire 2020 – 2021
MATHÉMATIQUES MPSI
3DS N˚0
Jeudi 10/09/2020 (2h)
Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les
résultats doivent être encadrés .
La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.
Problème 1
Partie I : Résolutions
Pour chaque question, on précisera dans la conclusion l’ensemble des solutions.
Q1) Résoudre dansRles équations : a) 2x+p
x−1=0 (on pourra faire un changement d’inconnue).
b) p
x+2=x−2.
c) |x| − |x−1| =2.
Q2) Résoudre dansRles inéquations : a) x1−16x+1.
b) ex+e−x>3 (on pourra posery=ex).
Q3) Résoudre dansR(on pourra illustrer la résolution avec un dessin) : a) cos(x)= −12.
b) sin(x)+cos(x)=0.
c) sin(x)+p
3 cos(x)=2 (on commencera par rappeler la formule d’addition du sinus et du cosinus).
Partie II : Ensembles
Q4) a) Rappeler la propriété de distributivité de l’intersection sur la réunion.
b) Rappeler les deux lois de De Morgan sur les ensembles.
c) Soient A et B deux parties d’un ensemble E, démontrer que A \ (A∩B)=A \ B.
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Q5) Soit E un ensemble, pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier : a) L’ensembleP(E) ne peut jamais être vide.
b) L’ensemble {E} contient toujours autant d’éléments que E.
c) Si A, B et C sont trois parties de E, et si A⊂(B∪C) alors on a A⊂B ou bien A⊂C.
d) Soit F un autre ensemble, si le produit cartésien E×F est vide alors E et F sont vides.
Problème 2
On rappelle qu’une fonction f est minorée par une fonction g sur un intervalleIlorsque, pour tout x∈I, g(x)6f(x)(on dit aussi que g est majorée par f ).
Partie I
Soient f et g les fonctions définies sur[0 ;+∞[par : f(x)=ln(1+x)et g(x)=x2x+2.
On se propose de démontrer que f est minorée par g sur[0 ;+∞[, on pose pour cela, h la fonction définie sur[0 ;+∞[par h(x)=f(x)−g(x).
Q1) a) Justifier brièvement la continuité et la dérivabilité dehsur [0 ;+∞[.
b) Pourx>0, démontrer queh0(x)=(x+1)(x+2)x2 2.
Q2) a) Faire le tableau complet des variations deh(avec les limites aux bornes).
b) En déduire que pour toutx∈[0 ;+∞[, x2x+26ln(1+x).
Q3) Montrer que les courbesCf etCg, courbes def et deg, admettent la même tangente pourx=0 (préciser en justifiant une équation de cette tangente).
Partie II
Soit k un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonctions linéaires x7→kx, qui majorent la fonction f : x7→ln(1+x)sur[0 ;+∞[. On note pour cela fkla fonction définie sur[0 ;+∞[par
fk(x)=ln(1+x)−kx.
Q4) a) Étudier le sens de variation de la fonctionf1: x7→ln(1+x)−xsur [0 ;+∞[
b) Étudier la limite def1en+∞, et donner la valeur de f1en 0.
c) Montrer que pour tout réelxpositif ou nul, on a ln(1+x)6x.
d) En déduire que sik>1, alors pour toutx>0, on af(x)6kx.
Q5) On suppose quek∈]0 ; 1[.
a) Montrer que la dérivée de fks’annule lorsquex=1−kk.
b) En déduire le sens de variation de fk(on ne demande pas les limites ici).
c) Montrer quefkadmet un maximum sur [0 ;+∞[ (à préciser), quel est son signe (justifier) ? Q6) En déduire toutes les valeurs dekstrictement positives telles que :
pour toutx∈[0 ;+∞[,f(x)6kx.
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Partie III
Pour x>0, on pose u(x)=ln(1+x x), et on pose aussi u(0)=1.
Q7) Justifier que la fonctionuainsi définie est continue en 0.
Q8) On pose L= Z 1
0
u(x) dx(ne pas chercher à calculer L).
a) Montrer que Z 1
0
2
x+2dx6L61.
b) Calculer Z 1
0
2
x+2dx(la valeur exacte).
–FIN–
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