Année Scolaire 2020 – 2021
MATHÉMATIQUES MPSI
3DS N˚1
Samedi 19/09/2020 (2h)
Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les
résultats doivent être encadrés ou soulignés à larègle.
La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.
Problème 1
Partie I : Résolutions
Pour chaque question, on précisera dans la conclusionl’ensemble des solutions.
Q1) Résoudre dansRl’inéquationp
x+1>x−2.
Q2) Soitxun réel.
a) Rappeler la formule d’addition du cosinus et du sinus.
b) Exprimer cos(2x) en fonction de cos(x).
c) En déduire la résolution de l’inéquation cos(2x)+3 cos(x)>1.
Partie II : Quantificateurs
Q3) a) Écrire dans le langage mathématique avec des quantificateurs, les propositions suivantes : i) La fonction f : I→Radmet un minimum sur l’intervalle I.
ii) La fonction f : I→Rn’a pas de minimum sur l’intervalle I.
b) La fonction inverse (x7→ 1x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[ admet-elle un minimum ? Prouvez-le en vous ramenant à la question précédente.
Q4) Traduire dans le langage courant les assertions suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses, et le prouver (dans le cas d’une proposition fausse, on écrira sa négation pour démontrer celle-ci).
a) ∀M∈R,∃x∈R+,p x>M.
b) ∃T∈R∗,∀x∈R, (x+T)2=x2.
c) ∀x∈R,∀y∈R,x6y =⇒ sin(x)6sin(y).
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Partie III : Raisonnements
Q5) Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E, démontrer l’équivalence : A∩B=A∩C ⇐⇒ A∩B=A∩C
où A désigne le complémentaire de A dans E (idem pour B et C).
Q6) Par un raisonnement d’analyse-synthèse, montrer que toute fonctionf : R→Rdérivable, est la somme d’une fonction linéaire (i.e.de la forme x7→ ax avec a une constante réelle) et d’une fonction dont la dérivée en 0 est nulle.
Q7) Soitu la suite définie paru0=1 et pour tout naturel n,un+1=1+u0+ · · · +un. À l’aide d’une récurrence forte, montrer que∀n∈N,un=2n.
Problème 2
On considère la fonction f: R→Rdéfinie par f(x)=
sin(x)
x six6=0 1 six=0 . Le but du problème est l’étude de cette fonction f .
Q1) Préliminaires
a) Soitx∈R, etn∈Z, démontrer que cos(x+nπ)=(−1)ncos(x).
b) Soitx∈R, exprimer cos(x+π2) et sin(x+π2) en fonction de cos(x) et sin(x).
Q2) a) Étudier la parité de f.
b) Justifier la continuité et la dérivabilité def surR∗. c) Pourxnon nul, calculerf0(x).
d) Montrer la continuité de f en 0.
e) Justifier que pourx∈R∗+, on a¯
¯f(x)¯
¯61x. En déduire la limite def en+∞.
Q3) a) Montrer que pour toutx∈R+, on a sin(x)6x(on pourra poserh(x)=x−sin(x) et étudier les variations dehsurR+).
b) Soitx∈R+, justifier que Z x
0
sin(t) dt6 Z x
0
tdt. En déduire que cos(x)>1−x22. c) Montrer que pour toutx∈R+, on a sin(x)>x−x63.
Q4) a) Déduire de la question précédente, un encadrement de f(x)−xf(0)pourx>0, puis pourx<0.
b) Montrer quef est dérivable en 0 et préciser f0(0).
Q5) On poseg: x7→xcos(x)−sin(x) et pour toutnentier naturel on pose In=[nπ; (n+1)π].
a) Dresser le tableau des variations deg sur l’intervalle Inen distinguant trois cas : i) n=0.
ii) nimpair.
iii) npair non nul.
b) Montrer que lorsquenest non nul, l’équationg(x)=0 possède une unique solution dans In, on la noteraxn(ne pas chercher à calculerxn).
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c) En déduire le tableau de variation def sur l’intervalle Indans les trois cas cités précédemment.
Q6) Tracer l’allure du graphe de la fonction f. Préciser la tangente au point d’abscisse 0.
Q7) a) Montrer que∀n∈N∗, f(xn)=(−1)nunavecun=cos(xn−nπ).
b) Soitn>0, déterminer le signeg(nπ+π2), en déduire quexn6nπ+π2 (distinguernpair etn impair).
c) Soitn>0, déterminer le signeg(xn+π), en déduire quexn+π6xn+1(distinguernpair etn impair).
d) Soitn>0, comparerxn+1−(n+1)πetxn−nπ.
e) Montrer que la suite (un)n∈N∗est positive, décroissante et de limite nulle.
–FIN–
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