La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.

Année Scolaire 2020 – 2021

MATHÉMATIQUES MPSI

DS N˚2

Samedi 03/10/2020 (4h)

Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les

résultats doivent être encadrés ou soulignés à larègle.

La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.

Problème 1 : analyse

Les parties de ce problème sont indépendantes.

Partie I

Pour x>0, on pose f(x)=^ln(x)_x . Q1) a) Montrer quef est définie, continue et dérivable sur ]0 ;+∞[.

b) Pourx>0, calculer f⁰(x) et étudier son signe.

c) En déduire le tableau complet des variations def (avec les limites aux bornes).

d) Donner l’allure de la courbe def.

Préciser les tangentes à la courbe aux points d’abscisses 1 ete. Q2) Soitαun réel.

a) Montrer que siα60, alors il existe un uniquex₀∈]0 ; 1] tel quef(x₀)=α(on ne demande pas de calculerx₀).

b) Montrer que siα=¹_e, alors il existe un uniquex₁∈]0 ;+∞[ tel que f(x₁)=α(on précisera le réelx₁).

c) Montrer que siα∈]0 ;¹_e[, alors il existe un unique couple de réels (x₂,x₃) tels que 1<x₂<e<x₃ et f(x₂)=f(x₃)=α.

d) Déterminer le nombre de solutions à l’équation f(x)=αlorsqueα>¹_e (justifier).

Q3) Soient a et b deux réels strictement positifs avec a <b. On rappelle quea^b =e^bln(a) (et donc b^a=e^aln(b)).

1

a) Montrer quea^b=b^a ⇐⇒ f(a)=f(b).

Déduire de la question précédente dans quels intervalles doivent se trouveraetblorsque f(a)=f(b),

b) En déduire tous les entiers naturels non nulsaetbtels quea^b=b^aaveca<b.

Partie II : Limite d’une suite Pour n∈N, on pose un=

n

P

k=0 (−1)^k 2k+1. Q4) Calculeru₀,u₁etu₂.

Q5) Une autre expression de un.

a) Soitt∈[0 ; 1] etn∈N, montrer que :

n

X

k=0

(−1)^kt^2k= 1

1+t²+(−1)ⁿt²ⁿ⁺² 1+t² On remarquera que(−1)^kt^2k=(−t²)^k.

b) En déduire pour tout natureln, que : u_n=

Z ₁

0

dt

1+t²+(−1)ⁿ Z ₁

0

t²ⁿ⁺² 1+t²dt Q6) a) Soitt∈[0 ; 1] etn∈N, montrer que t²ⁿ⁺²

1+t²6^t2n+2. b) En déduire que

Z ₁

0

t²ⁿ⁺²

1+t²dt6 ¹ 2n+3. c) En déduire la limite de (−1)ⁿ

Z ₁

0

t²ⁿ⁺²

1+t²dtlorsquentend vers+∞.

Q7) Pourx∈R, on pose F(x)= Z x

0

dt

1+t² (ne pas chercher à calculer l’intégrale).

a) Justifier que F est définie, continue dérivable surR, et calculer F⁰. b) Pourx∈]−^π₂;^π₂[, on pose tan(x)=_cos(x^sin(x)₎.

Justifier que tan est définie, continue, dérivable sur ]−^π₂;^π₂[. Calculer tan(0), tan(^π₄).

Démontrer que tan⁰(x)=1+tan²(x) pourx∈]−^π₂;^π₂[.

c) Pourx∈]−^π₂;^π₂[, on se propose de simplifier F(tan(x)) suivant deux méthodes : i) méthode 1: calculer

Z _tan(x)

0

dt

1+t² en effectuantsoigneusementle changement de va- riablet=tan(u). En déduire une expression très simple de F(tan(x)).

ii) méthode 2: on poseg(x)=F(tan(x)), calculer la dérivée deg, et en déduire une simplifi- cation deg(x).

d) Déduire de ce qui précède que F(1)=^π₄.

Q8) Montrer que la suite (u_n) converge et donner sa limite (en justifiant).

2

Problème 2 : algèbre

Les parties de ce problème sont indépendantes.

Partie I

Les deux questions sont indépendantes.

Q1) Pourz∈C\ {i}, on pose f(z)=^z_z⁺₋ⁱ_i.

a) Déterminer la forme algébrique def(z).

b) En déduire les complexesztels quef(z)∈R. Puis les complexesztels quef(z)∈iR. c) Déterminer les complexesztels quef(z)∈U.

d) i) Résoudre dansCl’équationz²=6i.

ii) En déduire les points fixes de f, c’est à dire les complexesztels que f(z)=z. On mettra les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

Q2) Résolution d’une équation de degré 3 notée (E) :x³−6x²+9x−3=0 dansC.

a) Suppression du terme carré: on posey=x−2, montrer que : x³−6x²+9x−3=0 ⇐⇒ y³−3y−1=0.

On notera (E⁰) l’équationy³−3y−1=0.

b) Soientyun complexe :

i) Justifier l’existence de deux complexesuetv tels quey=u+v etuv=1 (on ne demande pas de calculeruetvici).

ii) Montrer queyest solution de (E⁰) si et seulement si







u³+v³=1 uv=1.

iii) En déduire queu³etv³sont solutions d’une équation du second degré (E⁰⁰) (à préciser).

iv) Résoudre (E⁰⁰) et en déduire qu’il y a trois solutionsy₁,y₂ety₃pour (E⁰) (à préciser).

c) Donner alors les solutions de l’équation (E).

Partie II

Soitzun complexe différent de 1, etnun entier supérieur ou égal à 2, on pose : Sn=

n

P

k=1

kz^k. Q3) a) Démontrer quezS_n=ⁿ⁺¹P

k=2

(k−1)z^k. Puis que (1−z)S_n+nzⁿ⁺¹=

n

P

k=1

z^k. b) En déduire que Sn=^z−(n+1)z_(1−z)ⁿ⁺¹2^+nzn+2.

Q4) Dans cette question on propose une autre méthode pour simplifier Sn: a) Justifier soigneusement les deux égalités suivantes : S_n=

n

P

k=1

µ _k P

s=1

z^k

¶

=

n

P

s=1

µ _n P

k=s

z^k

¶ . b) Retrouver ainsi la simplification de S_n.

Q5) a) Soitz=e^i2nπ, exprimer S_nsous la former e^iθavecretθréels à préciser.

b) En déduire Pⁿ

k=1

kcos(^2k_n^π) et Pⁿ

k=1

ksin(^2k_n^π).

3

Partie III

Dans cette partie,ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2, on note pour tout complexez: S_n(z)=

n−1X

k=0

³

z+e^{2i knπ}´n

Q6) Rappeler la formule du binôme de Newton.

Q7) Démontrer que S_n(z)=

n

P

p=0

µ_n−1 P

k=0

¡_n

p

¢z^n−pe^{2i kpnπ}

¶ . Q8) En déduire la relation (R) : S_n(z)=n(zⁿ+1).

Q9) a) En prenantz=e^{2i a}avecaréel, déduire de la relation (R) que :

n−1X

k=0

(−1)^kcosⁿ(kπ

n −a)=ncos(na) 2ⁿ⁻¹ b) Pour quelles valeurs deala somme ci-dessus est-elle nulle ?

c) Simplifier poura∈R,ⁿP⁻¹

k=0(−1)^ksinⁿ(^k_n^π−a).

–FIN–

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