Université Paris-Sud 11 • Centre d’Orsay • L2 Physique Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)
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Feuille d’exercices 8
Exercice 1. Dessiner le domaine D, représenter D sous la forme D = ( x, y ) : x ∈ [ a, b ] , c ( x ) ≤ y ≤ d ( x ) ou D = ( x, y ) : y ∈ [ c, d ] , a ( y ) ≤ x ≤ b ( y ) , ensuite calculer l’intégrale
Z Z
D
f ( x, y ) dx dy.
1. f ( x, y ) = ( x + y )
2, D = ( x, y ) : − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 , 2. f ( x, y ) = sin
2( x − 2y ) , D = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π } ,
3. f ( x, y ) = ( x + y )
2, D est l’intérieur du triangle délimité par les droites x = 2, y = 0, y = x.
4. f ( x, y ) = ( x + y )
2, D est l’intérieur du triangle délimité par les droites x = 1, y = 1, y = 1 − x.
5. f ( x, y ) = ( x + y )
2, D est l’intérieur du triangle délimité par les droites x = 0, y = 2, y = 2x.
6. f ( x, y ) = ( x + y )
2, D est l’intérieur du triangle dont le sommets sont (− 1, 0 ) , ( 0, 1 ) , ( 2, 0 ) . 7. f ( x, y ) = x − y, D est domaine délimité par la parabole y = x
2et la droite y = x + 2.
8. f ( x, y ) = xy
2, D est le domaine délimité par la parabole y
2= 4x et la droite x = 1.
9. f ( x, y ) = xy, D est le domaine compris entre les paraboles y = 1 − x
2et y = ( x − 1 )
210. f ( x, y ) = x + y, D est le domaine délimité par le graphe de la fonction y = | x | et la parabole
y = 2 − x
2.
Exercice 2. Représenter D en utilisant les coordonnées polaires (ou une modification) et calculer l’intégrale
Z Z
D
f ( x, y ) dx dy.
1. f ( x, y ) = x
2, D est le disque de rayon 2 centré sur l’origine.
2. f ( x, y ) = sin ( x
2+ y
2) , D est l’anneau délimité par les cercles x
2+ y
2= 1 et x
2+ y
2= π
2,
3. f ( x, y ) = x, D est l’intersection du disque ( x − 1 )
2+ y
2≤ 1 avec le demi-plan y ≥ 0,
4. f ( x, y ) = xy, D est l’intersection du disque x
2+ y
2≤ 1 avec les demi-plans y ≤ x et y ≥ 0,
5. f ( x, y ) = xy p
1 − ( x
2+ y
2)
2, D est la partie du disque x
2+ y
2≤ 9 correspondant à x ≥ 0 et y ≥ 0.
6. f ( x, y ) = x
2+ y
2, D est l’intérieur de l’ellipse x
2+ 4y
2= 4.
7. f ( x, y ) = y
2, D est l’intérieur de l’ellipse 4 ( x + 1 )
2+ ( y − 2 )
2= 9.
Exercice 3. Soit D l’intérieur du parallélogramme ABCD, A ( 1, 1 ) , B ( 2, 4 ) , C ( 4, 3 ) , D ( 3, 0 ) dans le plan Oxy. On considère le changement de variables x = 1 + s + 2t, y = 1 + 3s − t.
1. Décrire D en utilisant les variables ( s, t ) .
2. Calculer le jacobien de ce changement de variables.
3. Calculer l’intégrale Z Z
D
x
2dxdy.
Maintenant soit Ω l’intérieur du triangle ABD.
4. Décrire Ω en utilisant les variables ( s, t ) . 5. Calculer
Z Z
Ω
y
2dxdy.
Exercice 4
Indication : dans tous les cas, on peut utiliser la formule de Green-Riemann.
1. Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe d’équation polaire r = 2 + cos θ.
2. Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe d’équation ( x
2+ y
2)
3= ( x
2− y
2)
2. Indi- cation : trouver l’équation polaire de la courbe.
3. Calculer l’aire du domaine délimité par le morceau de la cycloïde x = t − sin t, y = 1 − cos t, 0 ≤ t ≤ 2π, et l’axe Ox.
4. Calculer la circulation du champ de vecteurs
~ F ( x, y ) = 4
5 xy
5+ 2y − e
x+ cos x, 2xy
4− 4 sin y sur le bord du rectangle [ 1, 3 ] × [ 0, 1 ] parcouru dans sens anti-horaire.
5. Calculer I
~γ
