Correction du devoir maison n°5
Exercice 1 : f ( x ) = a( x )
b ( x)
Avec a(x) = 2 x2 + 2x – 12 et b(x) = x² - 3 x + 5 : deux polynôme du second degré.
∆a = 2² - 4 x2 x ( - 12 ) = 4 + 96 = 100 = 10² Les racines de a(x) x1 = - 2 – 10
2x2 = -3 et x2 = - 2 + 10 2x2 = 2
Donc a(x) = 2 ( x – 2 ) ( x –( -3) ) = 2 ( x – 2 ) ( x + 3) est du signe de a ( 2 ) soit positif à l’extérieur des racines –3 et 2 .
∆b = (-3)² - 4 x1 x 5 = 9 – 20 = - 11
Donc b(x) est de signe constant : celui de a = 1 soit positif.
Résumons dans le tableau de signe suivant :
x −∞ -3 2 +∞
2.x2 + 2.x - 12 + 0 – 0 + x2
- 3.x + 5 + + +
a(x)
b(x) + 0 – 0 +
La fonction f est définie si b(x) ≠ 0 et a(x)
b(x) ≥ 0 donc Df = ] - ∞ ; - 3 ] ou [2 ; + ∞[.
Exercice : 65 page 164 : a) 3
2> 0
b) - 3 < 0
c)
d)
x f2(x)
−5
−3/2
-1 3
1 x
f1(x)
−5
3/4
- 1 1
3
−1/2
x f3(x)
−7
1/2
−3 1
−1/3
x f2(x)
−5 1/2
-1 3
3
Exercice 69 page 164 :
1. f est une fonction polynôme du second degré de la forme ax² + bx + c avec a = 1 et –b 2a = 2
2 = 1.
f est donc décroissante sur ] - ∞ ; 1 ] et croissante sur [1 ; + ∞ [.
2. . Le minimum de f est atteint en 1 : f(1 ) = 1 – 2 + 3 = 2. Donc la fonction f est strictement positive.
3. a. La fonction f ne s’annule jamais donc la fonction g est bien définie sur IR.
3 .b. Soit u la fonction inverse définie sur IR* . g(x) = u ( f ( x ) ) La fonction f, est décroissante sur ] - ∞ , 1 ] et f(x) ∈ IR+*;
sur IR+* , la fonction u est décroissante donc la fonction g : f suivie de u est croissante sur ] - ∞ ; 1 ] La fonction f, est croissante sur [ 1 ; + ∞ [ et f(x) ∈ IR+*;
sur IR+* , la fonction u est décroissante donc la fonction g : f suivie de u est décroissante sur [ 1 ; + ∞ [.
Exercice 49 page 22 :
1. Les points M et N correspondent à des baisses de la courbe. Mais le point M correspond à une augmentation de 1,3 % des cotisations sociales et le point N une baisse de 22,2 % de ces cotisations.
2. a. Les cotisations sont ont augmentées en 1996 de 3,6 % puis ont baissées de – 4 puis – 22,2 % pendant les années 1997 et 1998, elles ont donc constamment baissées après 1996 mais pas de 1996 à 1999.
b. Les cotisations sociales ont augmentées de 3,6% en 1994 et augmentées de 1,3 % en 1995, elles ont donc constamment augmentées de 1994 à 1995. ( Elles ont moins augmentées en 1995. )
3. On calcul le coefficient multiplicateur des pourcentages successifs : (1+ 1,7
100 ) x ( 1 + 3,6
100 ) x ( 1+ 1,3
100 ) x ( 1 + 3,6
100 ) x ( 1 – 4
100 ) x ( 1- 22,2
100 ) x ( 1 + 3,8
100 ) ≈ 0,86 La baisse est donc d’environ 100 –0,86 x 100 = 14 %.
