> restart:
(2 points) Soit (un) la suite réelle donnée par récurrence : u0 = 0 ; u1 = 1 et un + 2 + 2 un + 1 − 3 un = 2.
Donner le terme général un de cette suite en fonction de n.
> rsolve({u(n+2)+2*u(n+1)-3*u(n) = 2,u(0)=0,u(1)=1},u(n));
− (-3)n + + 8
1 8
n 2
(2 points) Résoudre − =
d d
xf x( ) cos x( )f x( ) ( )
sin x cos x .( )
> dsolve(diff(f(x),x)-cos(x)*f(x)/sin(x) = cos(x),f(x));
= ( )
f x sin x( )ln(sin x( )) + sin x _C1( ) (2 points) Donner le millième nombre premier.
> ithprime(1000);
7919
> restart:
EXERCICE 1 (4 points) Soit u0 = 1 et un + 1 =
+ 2 un 5
−
un 2 . On pose vn = + un 1
− un 5. 1) Donner vn + 1 en fonction de vn.
2) En déduire vn en fonction de n puis unen fonction de n.
> f:=x->(2*x+5)/(x-2):u[n+1]=f(u[n]);
g:=x->(x+1)/(x-5):v[n]=g(u[n]);
solve(g(x)=y,x);
ginv:=y->(1+5*y)/(-1+y);
simplify(g(f(ginv(v[n]))));
v[0]:=g(1);v[n]:=v[0]*(-1)^n;
u[n]:=simplify(ginv(v[n]));
= un + 1
+ 2 un 5
− un 2 =
vn
+ un 1
− un 5 + 1 5 y
− + 1 y :=
ginv y → 1 + 5 y
− + 1 y
−vn :=
v0 -1 2 :=
vn − (-1)n 2
:=
un − + 2 5 (-1)n + 2 (-1)n
> restart:
EXERCICE 2 (6 points)
Soit u l'endomorphisme de R^4 ayant pour matrice A =
1 a 1 1
1 1 a 1
0 1 1 a
0 0 1 1
.
1) Discuter la bijectivité de u (c'est-à-dire de l'inversibilité de la matrice A) en fonction du
paramètre réel a : dire pour quelle(s) valeur(s) de a la matrice A est inversible et donner, pour ces valeurs, la matrice inverse de A.
2) Dans chacun des cas où u n'est pas bijective (c'est-à-dire lorsque la matrice A n'est pas inversible), donner le noyau (une base et sa dimension), l'image (une base et sa dimension) de u.
3) Dans le cas où a=1, donner la matrice A4 + 4 A.
> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
> A:=matrix(4,4,[1,a,1,1,1,1,a,1,0,1,1,a,0,0,1,1]);
:=
A
1 a 1 1
1 1 a 1
0 1 1 a
0 0 1 1
En calculant le déterminant
> factor(det(A));
(a − 1 () a − 2) ou par la décomposition LU,
> LUdecomp(A,L='l',U='u');
1 a 1 1
0 1 − a a − 1 0
0 0 2 a
0 0 0 1 − a
2
> L:=evalm(l);U:=evalm(u);multiply(L,U):#on vérifie A=LU
:=
L
1 0 0 0
1 1 0 0
0 − 1
−
a 1 1 0
0 0 1
2 1
:=
U
1 a 1 1
0 1 − a a − 1 0
0 0 2 a
0 0 0 1 − a
2
on s'apperçoit que les problèmes concernant l'inversibilité de la matrice A ne peuvent provenir que lorsque a − 1 = 0 (i.e. a = 1).
> inverse(A);#l'inverse de A qui peut aussi être obtenue à partir de la décomposition LU
− 2
− a 2
a − a 2
a −
a 2 − a2 + − a 2 − a 2 1
−
a 2 − 1
−
a 2 − 1
− a 2
a − a 2 1
− +
2 3 a a2 − 1
− +
2 3 a a2 − 1 − a 2
a − a 2
− 1
− + 2 3 a a2
1 − + 2 3 a a2
1 −
a 2 − 2
− a 2 Le cas a = 1.
> a:=1;
A:=matrix(4,4,[1,a,1,1,1,1,a,1,0,1,1,a,0,0,1,1]);
:=
a 1
:=
A
1 1 1 1
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
> colspace(A);# l'image de A
rank(A);# le rang ou la dimension de l'image {[0 0 0 1, , , ],[1 1 0 0, , , ],[0 0 1 0, , , ]}
3
> nullspace(A);# le noyau de A nops(nullspace(A));
{[0 0 -1 1, , , ]} 1 Le cas a = 2.
> a:=2;
A:=matrix(4,4,[1,a,1,1,1,1,a,1,0,1,1,a,0,0,1,1]);
:=
a 2
:=
A
1 2 1 1
1 1 2 1
0 1 1 2
0 0 1 1
> colspace(A);# l'image de A
rank(A);# le rang ou la dimension de l'image
{ , , }
, , , 0 0 1 1
2
, , , 1 0 0 -1
2
, , , 0 1 0 1
2 3
> nullspace(A);# le noyau de A nops(nullspace(A));
{[2 -1 -1 1, , , ]} 1
> a:=1;
A:=matrix(4,4,[1,a,1,1,1,1,a,1,0,1,1,a,0,0,1,1]);
:=
a 1
:=
A
1 1 1 1
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
> evalm(A^4+4*A);
18 31 44 44 18 31 44 44 9 22 31 31
4 9 18 18
> restart:
EXERCICE 3 (4 points)
Trouver un entier naturel n tel que 2n ait la somme des carrés de ses chiffres égale à 18216.
> socachiffres:=proc(n) local N,s;
N:=n: s:=0: while N<>0 do s:=s+irem(N,10)^2; N:=iquo(N,10) od;
RETURN(s);
end;
socachiffres := proc( )n localN s, ;
:=
N n;
:=
s 0;
whileN ≠ 0dos := s + irem(N 10, )^2;N := iquo(N 10, )end do; ( )
RETURN s end proc
> n:=0:
while socachiffres(2^n)<>18216 do n:=n+1
od:
n;
2010
> socachiffres(2^2010);
18216
> Fin (Philippe RYCKELYNCK & Denis VEKEMANS)
Error, missing operator or `;`
