z′−ω= 3z+ 3−i +3 2 − i 2 ⇔z′−ω= 3z+9 2 −3i 2 ⇔z′−ω= 3 z+3 2 − i 2 ⇔z′−ω= 3(z−ω)

TS Fiche TP 11 _2011-2012

EXERCICE 1 :

Soitf l’application du plan dans lui-même qui à tout pointM d’affixez associe le pointM^′ d’affixez^′, telle que : z^′= 3z+ 3−i

1. z= 3z+ 3−i⇔ −2z= 3−i⇔z=−3 2+ i

2. Il existe donc un point invariant Ω d’affixeω=−3 2 + i

2. 2. z^′−ω= 3z+ 3−i +3

2 − i

2 ⇔z^′−ω= 3z+9 2 −3i

2 ⇔z^′−ω= 3

z+3 2 − i

2

⇔z^′−ω= 3(z−ω).

On reconnaît l’écriture complexe de l’homothétie de centre Ω

−3 2 + i

2

et de rapport 3.

EXERCICE 2 :

On donne les points A,B,C etD d’affixes respectives : zA= e^i3π4 ,zB = e^iπ2,zC =√

2e^iπ3 et zD= 2(1 + i)

1. OA=|zA|=|e^i3π4 |= 1 etOB=|zB|=|e^iπ2|= 1 =OA.

CommeOA=OB, il existe une rotation de centre O qui transformeA enB.

L’angle (−→

OA;−−→

OB) =arg zB

zA

=arg e^iπ2

e^i3π4

=arg e^−iπ4

=−π 4 (2π).

2. L’écriture complexe de la rotationR est donc :

z^′= e^−iπ4z Affixes des imagesC^′ et D^′ des pointsC etD parR: zC′= e^−iπ4zC ⇔zC′ = e^−iπ4 ×√

2e^iπ3 ⇔zC′ =√ 2e^i12π zD′ = e^−iπ4zD⇔zD′ = e^−iπ4 ×2√

2e^iπ4 ⇔zD′ = 2√

2. En effet 2(1 + i) = 2√ 2e^iπ4

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