Résoudre l’équation : ( z + 3 i ) (3+ + z 3 i ) (2+ + z 3 i ) + = 1 0 (E)

PanaMaths

Janvier 2002

Résoudre l’équation : ( ^{z + 3 i} ) (

^{+ + z 3 i} ) (

^{+ + z 3 i} ) ^{+ = 1 0 (E)}

Analyse

On commence par se ramener à une équation plus simple en effectuant un changement de variable.

Résolution

En posant Z = +z 3i, l’équation (E) se récrit :

3 2

1 0 Z +Z + + =Z (E’)

−1 est racine évidente et on a :

( ) ( )

( )( )( )

3 2

2

1 0

1 1 0

1 0

Z Z Z

Z Z

Z Z i Z i

+ + + =

⇔ + + =

⇔ + + − =

Les solutions de (E’) sont donc : −1, i et −i.

Pour obtenir les solutions de (E), il suffit maintenant de revenir à la variable initiale :

0 1 0 3 1 0 1 3

Z = − ⇔z + = − ⇔i z = − − i

1 1 3 1 2

Z = ⇔ + = ⇔i z i i z = − i

2 2 3 2 4

Z = − ⇔i z + = − ⇔i i z = − i

Résultat final

Les solutions de l’équation

(

) (

) (

)

0 1 3

z = − − i, z₁= −2i et z₂ = −4i.