= = 2 - iz 3 iz z = - 2

Correction des exercices 4 et 6 (a, b, c)

Exercice 4 :

Dans le plan complexe ci-contre, on a tracé le cercle trigonométrique et placé des points.

Donner l’écriture trigonométrique de l’affixe de chacun de ces points.

Corrigé :

• 𝐴 est sur le cercle de rayon 4 : son module vaut donc 4. De plus, il est sur l’axe des réels (côté positif) : son argument vaut donc 0. Conclusion : 𝑧_% = 4(cos 0 + 𝑖 sin 0)

• 𝐵 est sur le même cercle, et son angle vaut ¹

2 (diagonale).

Donc 𝑧₃= 4 4cos¹₂+ 𝑖 sin¹₂5

• 𝐶 est toujours sur le cercle, et son argument vaut ¹

7 (axe des imaginaires).

Donc 𝑧₈ = 4 4cos¹₇+ 𝑖 sin¹₇5

• 𝐷 est sur le cercle. De plus, son sinus vaut ^:₇ et son cosinus est négatif, donc l’angle vaut ^;1_<. Conclusion : 𝑧₌ = 4 4cos^;1_< + 𝑖 sin^;1_<5

• 𝐸 est sur le cercle. De plus, il est sur l’axe des réels (côté négatif). Son argument vaut donc −𝜋. Donc 𝑧_A = 4(cos(−𝜋) + 𝑖 sin(−𝜋)).

• 𝐹 est à 2 unités de l’origine, donc son module est 2. De plus, son argument vaut 0 (comme 𝐴). Donc 𝑧_D = 2(cos 0 + 𝑖 sin 0)

• 𝐺 est à 8 unités de 0 (codages et 2 × 4 = 8). De plus, son argument est −¹

2

(diagonale). Donc 𝑧_H = 8 4cos 4−¹

25 + 𝑖 sin 4−¹

255

• 𝐻 est sur le cercle et son argument vaut −¹₇. Donc 𝑧_J = 4 4cos 4−¹₇5 + 𝑖 sin 4−¹₇55

Exercice 6 :

Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :

Corrigé :

• 𝑧_: = 2𝑖 = 0 + 2𝑖

|𝑧_:| = √0⁷+ 2⁷ = √0 + 4 = 2 Mcos 𝜗_: =^O₇= 0

sin 𝜗_: = ⁷₇= 1 donc 𝜗_: =¹₇ Conclusion : 𝑧_: = 2𝑒^RST i

z₁ =2 z₂ =-3i z₃ =-2

• 𝑧₇ = −3𝑖 = 0 − 3𝑖

|𝑧₇| = V0⁷+ (−3)⁷ = √0 + 9 = 3 M cos 𝜗₇ = ^O_X= 0

sin 𝜗₇ =^YX_X = −1 donc 𝜗₇ = −¹₇ Conclusion : 𝑧₇ = 3𝑒^YRST

• 𝑧_X = −2 = −2 + 0𝑖

|𝑧_X| = V(−2)⁷+ 0⁷ = √4 + 0 = 2 Mcos 𝜗_X =^Y7₇ = −1

sin 𝜗_X = ^O

7= 0 donc 𝜗_X = 𝜋 Conclusion : 𝑧_X = 2𝑒^R1