´ = = - = = zz 1 2 2 - zz iz 4 - += iz -- 32 22 iz iz iz z = - 3

Correction des ex.1, 2 et 3

Exercice 1 :

On considère les nombres complexes suivants : et . Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

Corrigé :

Tous ces calculs sont vérifiables à la calculatrice !

𝑧

_"

− 2𝑧

_%

= −4 − 𝑖 − 2(2 − 3𝑖) = −4 − 𝑖 − 4 + 6𝑖 = −8 + 5𝑖

𝑧

_%

× 𝑧

_"

= (2 − 3𝑖) × (−4 − 𝑖) = −8 − 2𝑖 + 12𝑖 + 3𝑖

^"

= −8 + 10𝑖 − 3 = −11 + 10𝑖

𝑧

_"^"

= (−4 − 𝑖)

^"

= (−4)

^"

− 2 × (−4) × 𝑖 + 𝑖

^"

= 16 + 8𝑖 − 1 = 15 + 8𝑖

%

3₄

=

_"567^%

=

%×("867)

("567)×("867)

=

_"9^"867₅₍₆₇₎₉

=

^"867_:8;

=

_%6^"

+

_%6⁶

𝑖

3₄

39

=

^"567

5:57

=

("567)×(5:87)

(5:57)×(5:87)

=

5<8"78%"7567⁹

(5:)⁹57⁹

=

5<8%:78;

%=8%

=

^%8%:7

%>

=

^%

%>

+

^%:

%>

𝑖

%83₄

%539

=

%8("567)

%5(5:57)

=

^%8"567_%8:87

=

⁶⁵⁶⁷_?87

=

(6567)×(?57)

(?87)×(?57)

=

%?5675%?7867⁹

?⁹57⁹

=

%?5%<756

"?8%

=

%"5%<7

"=

=

^%"_"=

−

^%<_"=

𝑖 =

_%6⁼

−

_%6^;

𝑖

Exercice 2 :

Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique :

Corrigé :

On commence par déterminer le module, puis l’argument (grâc au cos et au sin).

|𝑧

_%

| = A1

^"

+ (−1)

^"

= √1 + 1 = √2 C cos 𝜗

_%

=

^%

√"

=

√"×√"^%×√"

=

^√"_"

sin 𝜗

_%

= −

_√"^%

= −

√"×√"^%×√"

= −

^√"_"

donc 𝜗

_%

= −

^J

:

[2𝜋]

Conclusion : 𝑧

_%

= √2 Ncos N−

^J_:

O + 𝑖 sin N−

^J_:

OO

|𝑧

_"

| = √2

^"

+ 2

^"

= √4 + 4 = √8 = 2√2

C cos 𝜗

_"

=

"√"^"

=

^%

√"

=

√"×√"^%×√"

=

^√"_"

sin 𝜗

_"

=

"√"^"

=

_√"^%

=

√"×√"^%×√"

=

^√"_"

donc 𝜗

_"

=

^J_:

[2𝜋]

Conclusion : 𝑧

_"

= 2√2 Ncos

^J_:

+ 𝑖 sin

^J_:

O

i

z

₁

= 2 - 3 z

₂

= - 4 - i

1

2

2z

z - z

₁

´ z

₂

z

₂²

1

1

z

₂

1

z z

2 1

1 1

z z - +

i

z

₁

= 1 - z

₂

= 2 + 2 i z

₃

= - 1 + i 3 z

₄

= 2 i z

₅

= - 3

|𝑧

₆

| = Q(−1)

^"

+ √3

^"

= √1 + 3 = √4 = 2

C cos 𝜗

₆

= −

^%_"

sin 𝜗

₆

=

^√6_"

donc 𝜗

₆

=

^"J₆

[2𝜋]

Conclusion : 𝑧

₆

= 2 Ncos N

^"J₆

O + 𝑖 sin N

^"J₆

OO

|𝑧

_:

| = √0

^"

+ 2

^"

= √4 = 2 C cos 𝜗

_:

=

^R_"

= 0

sin 𝜗

_:

=

^"

"

= 1 donc 𝜗

_:

=

^J_"

[2𝜋]

Conclusion : 𝑧

_:

= 2 Ncos

^J_"

+ 𝑖 sin

^J_"

O

|𝑧

_?

| = A(−3)

^"

+ 0

^"

= √9 = 3 C cos 𝜗

_?

=

⁵⁶₆

= −1

sin 𝜗

_?

=

^R₆

= 0 donc 𝜗

_?

= 𝜋[2𝜋]

Conclusion : 𝑧

_?

= 3(cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋)

Exercice 3 :

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants dont on donne le module r et un argument q :

1) et 3) et 5) et

2) et 4) et 6) et

Corrigé :

On calcule, tout simplement, grâce aux valeurs des angles (cercle trigo ou calculatrice).

1) 𝑧 = 2 Ncos

^J_:

+ 𝑖 sin

^J_:

O = 2 N

^√"_"

+ 𝑖

^√"_"

O = √2 + 𝑖√2 2) 𝑧 = √3 Ncos

^?J₌

+ 𝑖 sin

^?J₌

O = √3 N−

^√6_"

+

^%_"

𝑖O = −

⁶_"

+

^√6_"

𝑖 3) 𝑧 = 2 Ncos N−

^J₌

O + 𝑖 sin N−

^J₌

OO = 2 N

^√6_"

− 𝑖

^%_"

O = √3 − 𝑖 4) 𝑧 = 4 Ncos

^6J_:

+ 𝑖 sin

^6J_:

O = 4 N−

^√"_"

+ 𝑖

^√"_"

O = −2√2 + 2𝑖√2 5) 𝑧 = cos

^>J₆

+ 𝑖 sin

^>J₆

=

^%_"

+ 𝑖

^√6_"

6) 𝑧 =

^%_"

Ncos N−

^J_"

O + 𝑖 sin N−

^J_"

OO =

^%_"

(0 − 𝑖) = −

^%_"

𝑖

= 2

r 4

= p

q r = 2

6 - p

=

q r = 1

3

= 7p q

= 3

r 6

= 5p

q r = 4

4

= 3p

q 2

= 1

r 2

- p

=

q