Université de Rouen L2 Math / L2 Info Année 2014-2015
Algèbre. Fiche n◦4 Anneaux, corps
Exercice 1. [•]
On considère l'ensembleZ+iZ={a+ib|a∈Z, b∈Z}. (1) Montrer queZ+iZest un sous-anneau de(C,+,·).
(2) Pour x∈Z+iZ, on poseN(x) =|x|2, où | · |désigne le module dans C. Montrer qu'un élémentx∈Z+iZest inversible (dansZ+iZ) si et seulement siN(x) = 1.
(3) En déduire l'ensemble des éléments inversibles dansZ+iZ.
Exercice 2. [•]
SoitAun anneau commutatif unitaire.
(1) Montrer que pour toutx∈A, l'ensemblexA={y∈A|∃a∈A:y=xa}est le plus petit idéal deAcontenantx.
(2) Montrer quexA=Asi et seulement sixest inversible dansA. En déduire que Aest un corps si et seulement si{0}et Asont les seuls idéaux deA.
Exercice 3. [•]
SoitAun anneau et soientI, J deux idéaux deA.
(1) Montrer queI∩J est le plus grand idéal deAcontenu à la fois dansIet dans J. (2) Montrer que I+J = {z ∈ A|∃x∈ I,∃y ∈ J : z = x+y} est le plus petit idéal de A
contenant à la foisI etJ. (3) A-t-on I∩J =I+J? Exercice 4.
SoitAun anneau principal. Soienta, b∈Aetd(resp.m) un PGCD (resp. PPCM) deaet b. (1) Montrer queadivisebdansAsi et seulement sibA⊂aA.
(2) Montrer queaA+bA=dAet queaA∩bA=mA. (3) Montrer queZest un anneau principal.
(4) En déduire la relation de Bezout.
(5) Déterminer la sommexZ+yZainsi que l'intersectionxZ∩yZpourx= 23,y= 41, pour x= 121ety= 737, et pourx= 72ety= 84.
Exercice 5. [•]
Montrer que l'ensembleK={a+b√
2|a∈Q, b∈Q} est un sous-corps deR.
Exercice 6.
Soit (A,+,·) un anneau. On appelle centre de A l'ensemble C ={x∈ A|∀y ∈ A, xy =yx}. Montrer queC est un sous-anneau deA.
Exercice 7.
On dénit surRles deux lois ⊕et ⊗par :
∀x∈R,∀y∈R, x⊕y=x+y−1et x⊗y=x+y−xy.
Montrer que(R,⊕,⊗)est un corps.
Exercice 8.
SoitM={aI2+bJ|a, b∈R}oùI2= 1 0
0 1
et J= 0 2
1 0
.
(1) CalculerJ2et montrer que si a, b∈RetaI2+bJ = 0alorsa=b= 0.
(2) Montrer que, muni des lois usuelles sur M2(R), M est un anneau. Est-il commutatif, intègre ?Mest-il un corps ?
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Exercice 9. [•]
Soit(A,+,×)un anneau. On dit quex∈Aest nilpotent s'il existen∈N∗ tel quexn = 0. (1) Montrer que sixest nilpotent alors 1−xest inversible.
(2) Montrer que sixety sont nilpotents et commutent alorsxyet x+ysont nilpotents.
(3) Un corps admet-il des éléments nilpotents non nuls ? Exercice 10. [•]
(1) Écrire les tables de multiplication respectives des anneauxZ/5Zet Z/12Z.
(2) Donner les éléments inversibles de ces anneaux.
(3) Déterminer les diviseurs de zéro de ces anneaux.
(4) DansZ/12Z, résoudre5x= 5puis6x= 6. (5) DansZ/12Z, calculer10n pour n∈N∗. Exercice 11. [•]
(1) Montrer quexest inversible dans Z/nZsi et seulement sixest premier avecn. (2) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) pest premier,
(b) l'anneauZ/pZest intègre, (c) Z/pZest un corps.
Exercice 12. [•]
Soientn1 etn2 deux entiers≥2 premiers entre eux. On sait qu'il existe deux entiers relatifsu etv tels queun1+vn2= 1.
(1) Soienta1,a2etadansZtels quea≡a1vn2+a2un1[n1n2]. Montrer que pour toutx∈Z: (x≡a1[n1]et x≡a2[n2])⇐⇒x≡a[n1n2].
(2) Résoudre :
x ≡ 1 [17]
x ≡ 2 [28]
x ≡ 3 [31]
.
(3) Montrer que l'applicationφdeZ/(n1n2)ZdansZ/n1Z×Z/n2Zqui àx¯ associe le couple ( ˙x,x)¨ est un isomorphisme d'anneaux. En déduire queZ/24Zest isomorphe àZ/8Z×Z/3Z.
Exercice 13.
Soit(A,+,×) un anneau unitaire, intègre et commutatif. On dénit surA×A∗ une relation binaireRpar :
(p, q)R(p0, q0)⇐⇒pq0 =p0q, ainsi que les opérations :
(p, q) + (p0, q0) = (pq0+p0q, qq0),(p, q).(p0, q0) = (pp0, qq0).
(1) Montrer queRest une relation d'équivalence.
(2) Montrer que l'addition et la multiplication ainsi dénies sont compatibles avecR. (3) On note K = (A×A∗)/R et pq la classe d'équivalence de (p, q). Comment s'écrivent
l'addition et la multiplication dans K. Montrer que (K,+, .) est un corps commutatif ; celui-ci est appelé corps des fractions de A.
(4) Montrer que l'applicationΦ :A→Kdénie parΦ(p) = p1 est un homomorphisme injectif.
(5) Qu'obtient-on si A=Z? Et siA est un corps ?
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Exercice 14. . Contrôle continu 2, décembre 2013.
Soit(A,+,×)un anneau commutatif unitaire. On suppose queA est un anneau intègre.
On considère l'ensemble A des fonctions f : R −→ A et on munit A des lois de compositions internes+et×dénies par, pour tousf, g∈ A:
f +g: R −→ A
x 7−→ f(x) +g(x)
et f×g: R −→ A
x 7−→ f(x)×g(x) .
On admet que(A,+,×)est un anneau commutatif unitaire d'élément nul l'application 0A: R −→ A x 7−→ 0A
et d'élément unité l'application 1A: R −→ A x 7−→ 1A
.
(1) Soitf ∈ A. Montrer quef est inversible dansAsi, et seulement si, pour toutx∈R,f(x) est inversible dansA.
(2) Soit f ∈ A non nulle. Montrer quef est un diviseur de zéro si, et seulement si, il existe x∈Rtel quef(x) = 0A.
(3) L'anneauAest-il intègre ? Est-ce un corps ?
(4) Soit I un idéal deA. Montrer que l'ensemble I des fonctionsf :R−→I est un idéal de A.
(5) Soit B un sous-anneau deA. Montrer que l'ensembleBdes fonctionsf :R−→B est un sous-anneau deA.
Exercice 15. . Contrôle continu 2, décembre 2013.
(1) L'anneauZ/20Zest-il intègre ?
(2) Quels sont les éléments inversibles deZ/20Z? (3) Quels sont les éléments inversibles deZ/4Z×Z/6Z?
