Montrer que si A est une matrice monotone, alors elle est inversible

Universit´e d’Aix-Marseille Licence de Math´ematiques G´en´erales - L3

Analyse num´erique et optimisation Ann´ee 2016-2017

Partiel du 16 novembre 2016 (Luminy) – dur´ee : 2h

Les calculatrices, les notes de cours et de TD ne sont pas autoris´ees.

La clart´e et la qualit´e de la r´edaction seront prises en compte dans l’´evaluation.

Exercice 1 – Propri´et´es de positivit´e et de monotonie d’une matrice carr´ee

On rappelle qu’un vecteurx∈Rⁿou une matriceA∈ M_n(R) estpositif, not´e≥0, si tous ses coefficients (r´eels) sont positifs ou nuls.

Une matrice A∈ M_n(R) est ditemonotone si elle satisfait la propri´et´e suivante :

∀x∈Rⁿ, Ax≥0 =⇒ x≥0.

1. Montrer que si A est une matrice monotone, alors elle est inversible.

2. Montrer que Aest monotone si et seulement siA est inversible etA⁻¹ ≥0.

3. Montrer que si A= (a_i,j)∈ M_n(R) est telle que (on dit parfois que A est uneM-matrice) :

(M) a_i,j ≤0, ∀i, j= 1,· · · , n, i6=j et a_i,i>

n

X

j=1,j6=i

|a_i,j|, ∀i= 1,· · ·, n,

alors Aest monotone.

4. Montrer que si A= (a_i,j)∈ M_n(R) est telle que :

a_i,j ≤0, ∀i, j = 1,· · · , n, i6=j et a_j,j >

n

X

i=1,i6=j

|a_i,j|, ∀j= 1,· · ·, n,

alors Aest monotone.

Exercice 2 – D´ecomposition LL^t de Choleski d’une matrice tridiagonale s.d.p.

SoitA= (a_i,j)∈ M_n(R) une matrice sym´etrique d´efinie positive et tridiagonale,i.e. a_i,j = 0 si|i−j|>1.

1. Montrer queAadmet une d´ecomposition de Choleski sous la formeA=LL^to`u la matrice triangulaire inf´erieure L= (`_i,j) est bidiagonale, i.e. `_i,j = 0 si j > ietj < i−1.

2. Ecrire un algorithme de calcul des coefficients α_i :=`<sub>i,i</sub> etβ<sub>i</sub> :=`i,i−1 deLen fonction des coefficients ai,j de A.

Calculer le nombre d’op´erations ´el´ementaires dans ce cas tridiagonal.

3. En d´eduire la d´ecompositionLL^tde la matrice :

A=













1 −1 0 0 0

−1 2 −1 0 0

0 −1 2 −1 0

0 0 −1 2 −1

0 0 0 −1 2











 .

Exercice 3 – M´ethode de Jacobi pour une matrice `a diagonale dominante stricte Soit A= (ai,j)i,j=1,n ∈ M<sub>n</sub>(R) une matrice `a diagonale dominante stricte, i.e.

|a_i,i|>X

j6=i

|a_i,j|, pour tout i= 1,· · ·, n.

1. Montrer que Aest inversible.

2. Montrer que la m´ethode de Jacobi converge pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire du type Ax=b.

Exercice 4 – M´ethode de Jacobi pour des matrices particuli`eres On note I la matrice identit´e dansM_n(R) et soit un r´eelλ >0.

Soit A= (ai,j)i,j=1,n∈ M_n(R) une matrice carr´ee v´erifiant :















ai,j≤0, ∀i, j= 1,· · ·, n, i6=j ai,i>0, ∀i= 1,· · ·, n

n

X

i=1

a_i,j= 0, ∀j= 1,· · ·, n.

1. Pour x∈Rⁿ, on d´efinit : kxk_A:=

n

X

i=1

a_i,i|x_i|. Montrer quek.k_Aest une norme sur Rⁿ.

2. Montrer que la matrice λ I+Aest inversible.

3. Pour b∈Rⁿ, on consid`ere le syst`eme lin´eaire suivant : (λ I+A)u=b.

Montrer que la m´ethode de Jacobi pour la recherche de la solution de ce syst`eme est bien d´efinie par une suite r´ecurrente (u^(k))k∈N de Rⁿ.

4. Montrer que la suite (u^(k))k∈N v´erifie pour tout k∈N: ku^(k+1)−u^(k)k_A≤ 1

(1 +α)^k ku⁽¹⁾−u⁽⁰⁾k_A, avec α >0 que l’on pr´ecisera.

5. Montrer que (u^(k))_k∈Nest une suite de Cauchy.

En d´eduire qu’elle converge vers la solution u du syst`eme lin´eaire consid´er´e quelque soit le choix du vecteur initial u⁽⁰⁾.

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