(a) Montrer querang( ¯A)≤2et en déduire queA¯n’est pas inversible

Université de Marseille

Licence de Mathématiques, 3eme année, analyse numérique et optimisation Examen du 22 juin 2017

Le polycopié du cours et les notes personnelles sont autorisés.

L’examen contient 3 exercices. Le barème est sur 22 points, il n’est donc pas demandé de tout faire pour avoir 20.

Exercice 1(Déterminant d’une matrice sous forme de blocs, barème 6 points).

SoientA∈M_n(IR)(n >1),b, c∈IRⁿetλ∈IR. On s’intéresse à la matriceA¯∈M_n+1(IR)définie sous forme de blocs de la manière suivante :

A¯=

A b

c^t λ

(1) On montre dans cet exercice que les deux assertions suivantes sont, sauf cas particuliers, fausses :

A1 det( ¯A) =λdet(A)−det(bc^t), A2 det( ¯A) =λdet(A)−c^tb,

1. Dans cette question, on prendn≥2,A= 0,b=cet on suppose queb6= 0.

(a) Montrer querang( ¯A)≤2et en déduire queA¯n’est pas inversible.

(b) En déduire que l’assertion A2 est fausse pour cet exemple.

2. Dans cette question, on suppose queAest symétrique définie positive,λ= 0,b=cet queb6= 0.

(a) Montrer queA¯est inversible et querang(bb^t) = 1.

(b) En déduire que l’assertion A1 est fausse pour cet exemple.

Exercice 2(Vitesse de convergence pour la méthode de Jacobi, barème 8 points).

SoitAune matrice carrée d’ordren, inversible, etb∈IRⁿ,n >1. On posex¯=A⁻¹b. On noteDla partie diagonale deA,−Ela partie triangulaire inférieure stricte deAet−Fla partie triangulaire supérieure stricte deA.

On suppose queDest inversible et on noteBJla matrice des itérations de la méthode de Jacobi, c’est-à-direBJ = D⁻¹(E+F). On rappelle que la méthode de Jacobi sécrit

Initialisation :x⁽⁰⁾ ∈IRⁿ,

Itérations :pour toutk≥0,Dx^(k+1)= (E+F)x^(k)+b.

On munitIRⁿd’une norme notéek · k. On noteρle rayon spectral deBJ.

1. On suppose queBJ est diagonalisable dansIR (c’est-à-dire qu’il existe une base deIRⁿ formée de vecteurs propres de BJ). Montrer qu’il existeC > 0, dépendant deA,b,x⁽⁰⁾ et de la norme choisie sur IRⁿ, mais indépendant dek, telle que

kx^(k)−xk ≤Cρ^kpour toutk≥0.

2. On suppose queBJ est diagonalisable dansCl (c’est-à-dire qu’il existe une base deClⁿ formée de vecteurs propres deBJ). Montrer que la conclusion de la question 1 reste vraie.

3. On ne suppose plus queBJest diagonalisable. Montrer que pour toutε >0, il existeCε>0, dépendant deA, b,x⁽⁰⁾,εet de la norme choisie surIRⁿ, mais indépendant dek, telle que

kx^(k)−xk ≤Cε(ρ+ε)^kpour toutk≥0.

Dans la suite de cet exercice on prendn= 2etA=

2 −1

−1 2

.

4. Dans cette question, on choisit, pour norme dansIR², la norme euclidienne, c’est-à-direkxk² = x²₁+x²₂ si x=

x1

x2

. Montrer qu’il existeC(dépendant debetx⁽⁰⁾, mais non dek) telle que

kx^(k)−xk=Cρ^kpour toutk≥0. (2)

5. Montrer qu’il existe des normes dansIR² pour lesquelles la conclusion de la question 4 est fausse (c’est-à- dire pour lesquelles la suite(kx^(k)−xk/ρ^k)k∈INn’est pas une suite constante).

1

Exercice 3(Algorithme de Newton pour calculer une racine cubique, barème 8 points).

Soientn≥1etA∈M_n(IR)une matrice symétrique définie positive. On note{e1, . . . , en}une base orthonormée de IRⁿformée de vecteurs propres deA. On a doncAei =λiei, avecλi>0,ei·ej = 0pouri6=jetei·ei= 1.

PourB∈M_n(IR), on poseF(B) =B³−A.

1. Montrer que la matriceXdéfinie parXei=µieipouri= 1, . . . , n, avecµ³_i =λi, est une racine cubique deA (c’est-à-dire une solution deF(X) = 0). Montrer queXest symétrique.

Dans la suite de l’exercice, on s’intéresse à l’algorithme de Newton pour calculerX.

2. SoitB ∈M_n(IR). La différentielle deFau pointB, notéeDF(B), est donc une application linéaire deM_n(IR) dansM_n(IR). Donner, pour toutH ∈M_n(IR), l’expression deDF(B)H.

3. Montrer queDF(X)est une application inversible.

[On pourra, par exemple, calculerDF(X)Hei·ejet montrer queDF(X)H = 0impliqueH= 0.]

4. Donner l’algorithme de Newton pour calculerXet montrer que l’algorithme de Newton donne une suite conver- gente versXsi l’initialisation de l’algorithme est faite avec une matrice suffisamment proche deX.

2