Le barème est sur 27 points, il n’est donc pas demandé de tout faire pour avoir 20

Université de Marseille

Licence de Mathématiques, 3ème année, analyse numérique et optimisation Partiel du 25 octobre 2017

La partiel contient 4 exercices. Le barème est sur 27 points, il n’est donc pas demandé de tout faire pour avoir 20. . . Exercice 1(Décompositions LU et de Choleski, barème 6 points).

SoitM =





1 2 1

2 8 10 1 10 18



.

1. Calculer les mineurs principaux deM. En déduire queM admet des décompositionsLUet de Choleski.

2. Donner la décompositionLU deM. 3. Donner la décomposition de Choleski deM.

Exercice 2(Système avec plus d’inconnues que d’équation, barème 3 points).

SoientA∈M_n,p(IR)avecp > n≥1etb∈IRⁿ.

1. On suppose qu’il existe au moins un vecteurxdeIR^ptel queAx=b. Montrer qu’il existe alors une infinité de vecteursxdeIR^ptel queAx=b.

2. Donner un exemple avecn= 2etp= 3pour lequel il n’existe pas de vecteurxdeIR^ptel queAx=b.

Exercice 3(Vitesse de convergence pour la méthode de Jacobi, barème 8 points).

Soient Aune matrice carrée d’ordren, inversible, etb ∈ IRⁿ,n > 1. On posex¯ = A⁻¹b. On noteD la partie diagonale deA,−Ela partie triangulaire inférieure stricte deAet−Fla partie triangulaire supérieure stricte deA.

On suppose queDest inversible et on noteBJla matrice des itérations de la méthode de Jacobi, c’est-à-direBJ = D⁻¹(E+F). On rappelle que la méthode de Jacobi s’écrit

Initialisation :x⁽⁰⁾ ∈IRⁿ,

Itérations :pour toutk≥0,Dx^(k+1)= (E+F)x^(k)+b.

On munitIRⁿd’une norme notéek · k. On noteρle rayon spectral deBJ.

1. On suppose queBJ est diagonalisable dansIR (c’est-à-dire qu’il existe une base deIRⁿ formée de vecteurs propres de BJ). Montrer qu’il existeC > 0, dépendant deA,b,x⁽⁰⁾ et de la norme choisie sur IRⁿ, mais indépendant dek, telle que

kx^(k)−xk ≤Cρ^kpour toutk≥0.

2. On ne suppose plus queBJest diagonalisable. Montrer que pour toutε >0, il existeCε>0, dépendant deA, b,x⁽⁰⁾,εet de la norme choisie surIRⁿ, mais indépendant dek, telle que

kx^(k)−xk ≤Cε(ρ+ε)^kpour toutk≥0.

Dans la suite de cet exercice on prendn= 2etA=

2 −1

−1 2

.

3. Dans cette question, on choisit, pour norme dansIR², la norme euclidienne, c’est-à-direkxk² = x²₁+x²₂ si x=

x1

x2

. Montrer qu’il existeC(dépendant debetx⁽⁰⁾, mais non dek) telle que

kx^(k)−xk=Cρ^kpour toutk≥0. (1)

4. Montrer qu’il existe des normes dansIR² pour lesquelles la conclusion de la question 3 est fausse (c’est-à- dire pour lesquelles la suite(kx^(k)−xk/ρ^k)k∈IN n’est pas une suite constante sauf éventuellement pour des valeurs particulières dex⁽⁰⁾).

1

Exercice 4(Méthode de la puissance, barème 10 points).

SoitA ∈ M_n(IR)ety⁽⁰⁾ ∈ IRⁿ\ {0}. On rappelle que la méthode de la puissance consiste à construire une suite (x^(k))k∈INde la manière suivante :

Initialisationx⁽⁰⁾=_|y^y(0)(0)| ∈IRⁿ\ {0},

Itérationspourk≥0, siAx^(k)6= 0,x^(k+1)=_|Ax^Ax((^kk⁾)|

où|x|désigne la norme euclidienne du vecteurx.

En définissant la suite(y^(k))k∈INpary^(k)=A^ky⁽⁰⁾pour toutk∈IN, on remarque que, siy^(k)6= 0pour toutk, x^(k)= y^(k)

|y^(k)|, pour toutk∈IN.

On notee1, . . . , enla base canonique deIRⁿ. 1. Dans cette question, on poseA=

λ µ 0 λ

avecλ, µ∈IR,λ >0,µ6= 0.

(a) Montrer queAn’est pas diagonalisable.

On utilise la méthode de la puissance avecy⁽⁰⁾=α1e1+α2e2,α26= 0.

(b) Montrer que la méthode de la puissance définit bien une suite(x^(k))k∈INet quex^(k)est, pour toutk∈IN, colinéaire au vecteur(α1+kα2µ/λ)e1+α2e2.

(c) Calculerlimk→+∞x^(k)etlimk→+∞Ax^(k)·x^(k).

(d) Peut-on appliquer le théorème vu en cours sur la méthode de la puissance à cette matrice ? 2. Dans cette question, on poseA=





λ 0 0 0 µ γ 0 0 µ



avecλ, µ, γ∈IR,λ >|µ|,γ6= 0.

(a) Montrer queAn’est pas diagonalisable.

On utilise la méthode de la puissance avecy⁽⁰⁾=α1e1+α2e2+α3e3,α16= 0.

(b) Montrer que la méthode de la puissance définit bien une suite(x^(k))k∈IN. (c) Calculerlimk→+∞x^(k)etlimk→+∞Ax^(k)·x^(k).

(d) Peut-on appliquer le théorème vu en cours sur la méthode de la puissance à cette matrice ?

2