a)Montrer que : ∀(k, ℓ)∈N2 P(X=k, Y =ℓ

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14. (X-ENS) Des variables aléatoires indépendantes Ui, i ∈ N^∗, suivent une même loi de Bernoulli de paramètre p∈]0,1[et Z est une variable aléatoire à valeurs dans N. On pose

X=

Z i=1

Ui et Y =Z−X=

Z i=1

(1−Ui). On note, pour tout ndeN,pn=P(X=n),qn=P(Y =n),rn =P(Z =n).

a)Montrer que : ∀(k, ℓ)∈N² P(X=k, Y =ℓ) = k+ℓ

k p^k(1−p)^ℓrk+ℓ. En déduire des expressions de pk etqℓ en fonction dep et des rn.

b)Montrer que, si Z suit une loi de Poisson, alorsX et Y sont indépendantes.

c)On suppose que X etY sont indépendantes et Z non presque sûrement nulle.

(i)Montrer que, pour tout nde N,r_n=

k+ℓ=n

p_kq_ℓ et que p0, p1, q0, q1 sont strictement positifs.

(ii)Montrer que : ∀(k, ℓ)∈N² p_k+1q_ℓ(k+ 1) (1−p) =p_kq_ℓ+1(ℓ+ 1)p.

(iii)En déduireq_ℓ en fonction dep0, p1 etp. Conclure que Z suit une loi de Poisson.

Solution

a)Soit(k, ℓ)∈N²; par définition(X=k)∩(Y =ℓ)⊂(Z =k+ℓ)donc, sir_k+ℓ= 0, alorsP(X=k, Y =ℓ) = 0 et la relation souhaitée est vraie.

Si r_k+ℓ= 0, la formule des probabilités composées donne

P(X =k, Y =ℓ) =P (X=k, Y =ℓ)|(Z =k+ℓ) ·r_k+ℓ. Or, en notant selon la tradition q = 1−p,

P (X=k, Y =ℓ)|(Z =k+ℓ) =P (X =k)|(Z =k+ℓ) = k+ℓ

k p^kq^ℓ (loi binomiale) d’où finalement

∀(k, ℓ)∈N² P(X=k, Y =ℓ) = k+ℓ

k p^kq^ℓr_k+ℓ. J’en déduis les lois marginales :

∀k∈N p_k=

∞

ℓ=0

P(X=k, Y =ℓ) =

∞

ℓ=0

k+ℓ

k p^kq^ℓr_k+ℓ

et

∀ℓ∈N qℓ =

∞

k=0

P(X=k, Y =ℓ) =

∞

k=0

k+ℓ

k p^kq^ℓrk+ℓ. b)On suppose ici λ∈R⁺ tel que

∀n∈N rn=e^−λλⁿ n!. Alors d’après a), pour(k, ℓ)∈N²,

P(X=k, Y =ℓ) = (k+ℓ)!

k!ℓ! p^kq^ℓe^−λ λ^k+ℓ

(k+ℓ)! =e^−λ(λp)^k k!

(λq)^ℓ ℓ!

et en reconnaissant la série exponentielle : p_k=

∞

ℓ=0

k+ℓ

k p^kq^ℓe^−λ λ^k+ℓ

(k+ℓ)! =e^−λ(λp)^k k!

∞

ℓ=0

(λq)^ℓ

ℓ! =e^−λ(λp)^k

k! e^λq =e^−λp(λp)^k k! . De même

q_ℓ =e^−λq(λq)^ℓ

ℓ! d’où P(X =k, Y =ℓ) =p_kq_ℓ car p+q = 1.

En conclusion

X etY sont indépendantes. De plus X ֒→ P(λp) etY ֒→ P(λq).

PSI* — 2020/2021 — Préparation aux oraux — Probas n^o 14 Page 2 c)On suppose X etY indépendantes et Z non presque sûrement nulle, c’est-à-dire quer0<1.

(i)Soitn∈N. Par définition,(Z=n) =

k+ℓ=n

(X =k, Y =ℓ)donc, l’union étant disjointe etX,Y indépendantes,

rn=

k+ℓ=n

p_kq_ℓ. De plus, d’aprèsa),

p0=

∞

ℓ=0

q^ℓr_ℓ>0 car q >0 et lesr_ℓ sont de somme 1 donc non tous nuls ! On justifie de mêmeq0>0. Par ailleurs, en réindexant,

p1=p

∞

ℓ=0

(1 +ℓ)q^ℓr_1+ℓ= p q

∞

ℓ=1

ℓq^ℓr_ℓ >0 car lesr_ℓ, ℓ≥1 sont de somme1−r0 >0, donc non tous nuls.

De même pour q1 :

p0, q0, p1, q1 sont strictement positifs.

(ii)Soit (k, ℓ)∈N² ; d’après a), sachant queX etY sont indépendantes, p_k+1q_ℓ(k+ 1)q= k+ 1 +ℓ

k+ 1 p^k+1q^ℓr_k+1+ℓ(k+ 1)q = (k+ 1) k+ℓ+ 1

k+ 1 p^k+1q^ℓ+1r_k+ℓ+1

et

p_kq_ℓ+1(ℓ+ 1)p= k+ℓ+ 1

k p^kq^ℓ+1r_k+ℓ+1(ℓ+ 1)p= (ℓ+ 1) k+ℓ+ 1

k p^k+1q^ℓ+1r_k+ℓ+1 or il se trouve que

(k+ 1) k+ 1 +ℓ

k+ 1 = (k+ℓ+ 1)!

k!ℓ! = (ℓ+ 1) k+ℓ+ 1

k .

Ainsi

pk+1qℓ(k+ 1)q=pkqℓ+1(ℓ+ 1)p.

(iii)En choisissantk= 0dans la relation précédente, j’obtiens

∀ℓ∈N q_ℓ+1= p1q p0p

q_ℓ ℓ+ 1 soit

∀ℓ∈N^∗ q_ℓ = p1q p0p

qℓ−1

ℓ et par une récurrence standard, en posantν = p1q

p0p,

∀ℓ∈N qℓ =ν^ℓq0

ℓ!

et comme les qℓ sont de somme 1, nécessairement q0 =e^−ν et doncY ֒→ P(ν).

J’obtiens de même µ tel que X ֒→ P(µ). Il en résulte classiquement (par exemple à l’aide des fonctions génératrices) queZ =X+Y ֒→ P(µ+ν).

Z suit une loi de Poisson.