n+S=n+ card{(k, j)∈N2 |2≤k≤n, 1≤j≤ √k n} =n+ card{(k, j)∈N2 |2≤k≤n, 1≤j, jk≤n} =n+ card{(k, j)∈N2 |2≤k≤n, 1≤j≤n, jk≤n

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Problème n^oA2845 Diophante (février 2021) SoientS =Pn

k=2b√^k

ncetS⁰ =Pn

j=2blog_jnc.

n+S=n+ card{(k, j)∈N² |2≤k≤n, 1≤j≤ √^k n}

=n+ card{(k, j)∈N² |2≤k≤n, 1≤j, j^k≤n}

=n+ card{(k, j)∈N² |2≤k≤n, 1≤j≤n, j^k≤n}

= card{(k, j)∈N² |1≤k≤n, 1≤j ≤n, j^k≤n}

n+S⁰=n+ card{(k, j)∈N² |2≤j≤n, 1≤k≤log_jn}

=n+ card{(k, j)∈N² |2≤j≤n, 1≤k, j^k≤n}

=n+ card{(k, j)∈N² |2≤j≤n, 1≤k≤n, j^k≤n}

= card{(k, j)∈N² |1≤j≤n, 1≤k≤n, j^k ≤n}

donc S=S⁰.

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