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OSCILLATEURS - corrigé des exercices
A. EXERCICES DE BASE I. Suspension des voitures
• La période des oscillations du dispositif de suspension (plus ou moins amorties par le dispositif amortisseur) est de lʼordre de grandeur de celle des oscillations propres : T ≈
!
2"
#0 =
!
2" M
k . La raideur du dispositif de suspension est donc : k ≈
!
4"2M T2 ≈ 9.10
4 N.m-1.
• Lʼabaissement dʼune voiture, lorsquʼon y introduit une malle de masse m = 70 kg, est par consé- quent : h =
!
mg
k ≈ 7,5 mm.
• Pour un camion, dont la charge est beaucoup plus grande, lʼabaissement ne peut pas être exagéré- ment augmenté ; il faut donc une raideur dʼautant plus grande. Pour que la période des oscillations soit la même, il faudrait donc que la masse du camion soit augmentée dans les mêmes proportions que sa charge ; or ceci ne serait pas rentable.
• La raideur et lʼabaissement imposant un rapport
!
m
M plus grand, la période des oscillations est plus petite et le camion est moins confortable (les passagers ont la sensation dʼêtre “secoués”).
II. Conditions aux limites 1.
• La pulsation est : ω0 =!
2"
T0 = 3,14 rad.s-1.
• Sachant que la vitesse initiale est positive, la position lors de la première annulation de la vitesse correspond à l'abscisse maximale (avec ω0t1 + ϕ = 0) : x1 = Xm cos(ω0t1 + ϕ) = Xm = 0,5 m.
• L'expression proposée correspond à : x• = -ω0Xm sin(ω0t + ϕ).
• En particulier : x•(0) = -ω0Xm sin(ϕ), donc sin(ϕ) = -
!
x•
( )
0"0Xm = -0,637 et ϕ = -0,690 rad = -39,5°.
2.
• L'expression proposée correspond à : x(t) = Xm cos(ϕ) cos(ω0t) - Xm sin(ϕ) sin(ω0t).• En particulier : A = Xm cos(ϕ) = 0,386 m ; B = - Xm sin(ϕ) = 0,318 m.
III. Associations de ressorts
a.
• Les forces verticales (poids et réaction de la tige) se compensent ; on peut donc se limiter à une étude algébrique selon lʼaxe Ox horizontal.• Le mobile est soumis à la traction du ressort de droite ; lʼéquilibre (traction nulle) correspond donc à la position “à vide” de ce ressort. En outre, les actions réciproques entre les deux ressorts sont opposées ; elles sʼannulent donc en même temps, et lʼéquilibre correspond aussi à la position “à vide” du ressort de gauche. En notant x1 = ℓ1 - ℓ01 et x2 = ℓ2 - ℓ02 les allongements des deux ressorts, lʼécart du mobile de masse m par rapport à lʼéquilibre est donc : x = x1 + x2.
• Lʼéquation du mouvement correspond à : mx•• = -k2x2 avec x2 tel que : k1x1 = k2x2 (actions réci- proques). On en tire : x = x1 + x2 = x2.(1 +
!
k2
k1) et finalement : mx•• = -Kx avec K =
!
k1k2 k1+k2.
• Ceci correspond à un mouvement sinusoïdal de période T =
!
2" m K .
2
b.
• Les forces verticales (poids et réaction de la tige) se compensent ; on peut donc se limiter à une étude algébrique selon lʼaxe Ox horizontal.• Le mobile est soumis à la traction des deux ressorts ; lʼéquilibre (somme des tractions nulle) ne correspond pas à la position “à vide”, mais à lʼégalité (en norme) des deux tractions : k1ξe1 = k2ξe2 (en notant ξ1 = ℓ1 - ℓ01 et ξ2 = ℓ2 - ℓ02 les allongements des deux ressorts).
• En outre, la longueur totale est constante ; cʼest-à-dire quʼen choisissant lʼorigine à lʼéquilibre, et en notant x le déplacement du mobile par rapport à lʼéquilibre, on obtient : ξ1 = ξe1 + x et ξ2 = ξe2 - x.
• Lʼéquation du mouvement correspond à : mx•• = k2ξ2 - k1ξ1 = - (k1 + k2) x + (k2ξe2 - k1ξe1) ; donc finalement : mx•• = -Kx avec K = k1 + k2.
• Ceci correspond à un mouvement sinusoïdal de période T =
!
2" m K .
c.
• Les forces verticales (poids et réaction de la tige) se compensent ; on peut donc se limiter à une étude algébrique selon lʼaxe Ox horizontal.• Le mobile est soumis à la traction des deux ressorts ; lʼéquilibre ne correspond pas à la position
“à vide” des ressort, mais à une somme algébrique nulle des deux tractions : k1.(ℓe - ℓ01) + k2.(ℓe - ℓ02) = 0 (les deux ressorts ont même longueur et, à lʼéquilibre, lʼun des ressorts est étiré et lʼautre est comprimé).
• Avec lʼorigine à lʼéquilibre, en notant x le déplacement du mobile par rapport à lʼéquilibre (ℓ = ℓe + x), lʼéquation du mouvement sʼécrit : mx•• = - k1.(ℓ - ℓ01) - k2.(ℓ - ℓ02) = - (k1 + k2) x - [k1.(ℓe - ℓ01) + k2.(ℓe - ℓ02)] ; donc finalement : mx•• = -Kx avec K = k1 + k2.
• Ceci correspond à un mouvement sinusoïdal de période T =
!
2" m K .
B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT IV. Grandes oscillations du pendule pesant
1.
• En développant sin(θ) jusqu'au premier terme non nul suivant l'ordre 1, c'est-à-dire à l'ordre 3, on obtient : θ•• + ω02 θ - ω02!
"3 6 ≈ 0.
2.
• Si on cherche une solution approchée sous la forme : θ = θ0 [sin(ωt) + ε sin(3ωt)] avec ε ≪ 1, on obtient (à l'ordre 1 en ε) :0 ≈ θ0 sin(ωt) [ω02 - ω2] + εθ0 sin(3ωt) [ω02 - 9 ω2] - ω02
!
"03 6 [sin
3(ωt) + 3ε sin(3ωt) sin2(ωt)]
• En utilisant les relations trigonométriques : sin3(ωt) =
!
3
4 sin(ωt) -
!
1
4 sin(3ωt) et sin(3ωt) sin2(ωt) =
=
!
"1
4 sin(ωt) +
!
1
2 sin(3ωt) -
!
1
4 sin(5ωt) on obtient : 0 ≈ sin(ωt) [ω02 - ω2 - ω02
!
"02 8 + ε ω0
2
!
"02 8 ] + sin(3ωt) [ε ω02 - 9ε ω2 + ω02
!
"02 24 - ε ω0
2
!
"02 4 ] + sin(5ωt) [ε ω02
!
"02 8 ]
3
• Le développement en série d'harmoniques a pour terme principal celui en sin(ωt) (“fondamental”), et pour terme suivant celui en sin(3ωt), avec un coefficient ε petit : il tend vers zéro quand l'amplitude θ0 tend vers zéro (isochronisme des petites oscillations). En fait, ceci est un développement en fonction des puis- sances de θ0 et on n'utilise la notation temporaire ε que parce qu'on ignore initialement l'ordre du terme suivant. Ainsi on doit négliger le terme en sin(5ωt) dans la dernière équation, et cela pour trois raisons qui ont la même origine (l'ordre du développement) :
◊ on n'a pas pris en compte de terme de la forme εʼ sin(5ωt) dans l'expression de θ pour dé- crire l'ordre suivant du développement ;
◊ le coefficient de sin(5ωt) dans la dernière équation est d'ordre εθ02 supérieur aux autres termes à l'ordre de développement traités ;
◊ on n'a pas pris en compte de terme en θ5 dans le développement limité de sin(θ).
• Pour que le développement soit nul pour tout t, il faut et il suffit que chaque coefficient soit nul. Le premier terme donne donc, à l'ordre le plus bas dépendant de θ0 : ω2 = ω02 [1 -
!
"02
8 .(1 - ε)] ≈ ω02 (1 -
!
"02 8 ) c'est-à-dire : T ≈ T0.(1 +
!
"02 16).
3.
• Le second terme donne de même, à l'ordre le plus bas en θ0 : ε =!
"0 2
192#21"02 ≈
!
"02
192. Ceci justifie que ε décrit un terme petit intervenant dans le développement en puissances de θ0 ; ceci justifie donc de même d'avoir négligé les termes en εθ02 en comparaison de ε et θ02.
◊ remarque : on aurait pu négliger plus tôt dans le calcul le terme ω02
!
"03
6 [3ε sin(3ωt) sin2(ωt)] qui ne pouvait qu'être d'ordre supérieur à celui du présent calcul (pour les mêmes raisons) ; il est toutefois intéres- sant de n'effectuer l'approximation qu'un peu plus loin, car cela permet de se rendre compte que ce terme introduit automatiquement un terme en sin(5ωt) dans le développement harmonique.
