ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 3 3 novembre 2010
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
1. Démontrer par récurrence que ∀n∈N,
n
X
k=0
k3 =
n(n+ 1) 2
2
.
2. Calculer S =
6
X
n=0
"
2 3
n−1
+n2 13 −1
6
# .
(Une fraction de deux entiers, ainsi que l'utilisation des formules du cours, sont attendues.) Problème.
1. Soit le polynôme P déni par P(x) =x3−1
2x2−4x−5 2. a. Trouver une racine évidente du polynômeP.
b. Déterminer les réelsα etβ tels que P(x) = (x+ 1)(x2+αx+β). c. En déduire toutes les racines de P, avec leur ordre de multiplicité.
2. On considère l'ensemble E des suites réelles (un)n∈N vériant l'égalité :
∀n∈N, 2un+3−un+2−8un+1−5un= 0.
a. Soit les suites x,y etzde termes généraux respectifs : xn=
5 2
n
, yn=n(−1)n et zn= (−1)n.
Montrer quex ety sont des éléments deE. (On admet que z est aussi un élément de E.) b. Soit (un)n∈N l'élément deE déni par u0= 1, u1= 2 et u2 = 39
2 .
Chercher trois réels a,b etctels que la relation (Rn) :un=axn+byn+czn soit vériée pourn= 0,n= 1etn= 2.
c. Montrer alors par récurrence triple sur n ∈ N que la relation (Rn) est vériée pour tout entier naturel n. (question dicile)
d. En déduire l'expression deun en fonction den.
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