ECE 2 MATHEMATIQUES
DS 8 - Concours Blanc 2 - durée : 4h
23 mars 2021
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
On considère l’espaceM2(R)des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. On définit :
A= 1 0 0 0
!
, B= 0 1 0 0
!
, C = 0 0 0 1
!
, T = 1 1 0 1
!
et E =
( a b 0 c
!
,(a, b, c)∈R3 )
1. Montrer queEest un espace vectoriel et que(A, B, C)est une base deE.
2. Etablir queEest stable par multiplication, ie ∀(M, N)∈ E2, M N ∈ E.
3. Montrer que, pour toute matriceM deE, siMest inversible, alorsM−1∈ E. Pour toute matrice deE, on note f(M) =T M T.
4. Montrer quef est un endomorphisme deE.
5. Vérifier queT est inversible et démontrer quef est un automorphisme deE. 6. Est-ce queT est diagonalisable ?
On noteFla matrice def dans la base(A, B, C)deE.
7. Calculerf(A), f(B), f(C)en fonction de(A, B, C), et en déduireF.
8. Montrer quef admet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci, puis déterminer une base et la dimension du sous-espace propre pourf associé à cette valeur propre.
9. Est-ce quef est diagonalisable ?
10. Soitλun réel différent de 1. Résoudre l’équationf(M) =λM, d’inconnueM ∈ E.
On noteI =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
etH =
0 0 0 1 0 1 0 0 0
.
11. CalculerH2, puis pour toutadeRet toutndeN,(I+aH)n. 12. CalculerFn, pourn∈N.
13. Trouver une matriceGdeM3(R)telle queG3=F. Existe-t-ilg∈L(E)tel queg◦g◦g=f? Exercice II.
Dans cet exercice on pourra utiliser l’encadrement suivant : 2< e <3.
Partie A. Etude d’une fontion
On considère la fonctionϕdéfinie surRpar ϕ(x) =x2ex−1.
1. Dresser le tableau de variations deϕ, en précisant ses limites en−∞et en+∞, ainsi que sa valeur en 0.
2. Etablir que l’équationex = 1
x2, d’inconnuex∈]0; +∞[, admet une unique solutionα, avecα∈ 1
2; 1
. On considère la fonctionf définie surRpar f(x) =x3ex,
et la suite réelle(un)n∈N, définie par u0= 1 et ∀n∈N, un+1 =f(un).
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23 mars 2021
Partie B. Etude d’une suite
1. Montrer que ∀n∈N, un>1.
2. Etablir que la suite(un)n∈Nest croissante.
3. Déterminer la limite de la suite(un)n∈N.
4. Créer un programme Scilab comportant la fonctionf, et calculant les termes de la suite jusqu’àu100. Partie C. Etude d’une série
1. Montrer que la sérieX
n>1
1
f(n) converge. On noteS =
+∞
X
n=1
1 f(n). 2. Montrer que ∀n∈N∗,
S−
n
X
k=1
1 f(k)
6 1
(e−1)en.
3. En déduire un programme Scilab qui calcule une valeur approchée deSà10−4près.
Partie D. Etude d’une fonction de deux variables
On considère l’ouvertU =]0,+∞[×RdeR2 et la fonctiongde deux variables, de classeC2surU, définie par g(x, y) = 1
x +ex−y2ey.
1. Représenter graphiquement l’ensembleU.
2. Calculer, pour tout(x, y)deU, les dérivées partielles premières degen(x, y).
3. Montrer quegadmet deux points critiques et deux seulement, et que ceux-ci sont(α,0)et(α,−2), oùα est le réel défini à la question A.2.
4. Est-ce quegadmet un extremum local en(α,0)?
5. Est-ce quegadmet un extremum local en(α,−2)? 6. Est-ce quegadmet un extremum global surU? Exercice III.
Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l’intermédiaire de deux serveurs : le serveurA ou le serveurB.
On constate que le serveur A est choisi avec probabilité p ∈]0; 1[, et donc que le serveur B est choisi avec probabilitéq= 1−p.
Les choix des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres.
1. A partir d’un jour donné, appelé le jour 1, on note les différents serveurs utilisés chaque jour par l’ordi- nateur par une suite de lettres. Par exemple, la suiteAABBBA . . . signifie que les deux premiers jours l’ordinateur a choisi le serveurA,les jours 3, 4 et 5 il a choisi le serveurB, et le jour 6 le serveurA. Dans cet exemple, on dit que l’on a une première série de longueur 2 et une deuxième série de longueur 3 (Ce qui est également le cas de la sérieBBAAAB . . .).
On noteL1la variable aléatoire représentant la longueur de la premièer série etL2 la variable aléatoire représentant la longueur de la deuxième série.
Ainsi, pourk≥1,dire queL1 =ksignifie que pendant leskpremiers jours, c’est le même serveur qui a été choisi, et le jour suivant, l’autre serveur.
a. Justifier que ∀k≥1, P(L1 =k) =pkq+qkp.
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b. Vérifier par le calcul que
+∞
X
k=1
P(L1=k) = 1.
c. Déterminer E(L1).
d. Vérifier que la loi du couple(L1, L2)est donnée par P([L1=k]∩[L2 =j]) =pk+1qj +qk+1pj, pourketjdes entiers supérieurs à1.
e. En déduire la loi marginale deL2, puis calculer E(L2).
f. Calculer Cov(L1, L2).
2. Soit n ∈ N∗. A partir d’un jour donné, que l’on appelera le jour 1, on note Nn la variable aléatoire représentant le nombre de fois où l’ordinateur choisit le serveurA pendant les npremiers jours,T1 le numéro du jour où pour la première fois le serveur A est choisi et T2 le numéro du jour où pour la deuxième fois le serveurAest choisi.
a. Déterminer la loi deNn, et donner son espérance et sa variance.
b. Déterminer la loi deT1, et donner son espérance et sa variance.
c. Montrer que ∀k≥2, P(T2 =k) = (k−1)p2qk−2.
3. Le temps de transmission en secondes d’un message par le serveurAest une variable aléatoireZqui suit une loi exponentielle de paramètre 1.
Le prix W, en euros, de cette transmission, est calculé de la façon suivante : on multiplie la durée de transmission en secondes par0.1euro, auquel on ajoute une somme forfaitaire de1euro.
a. Rappeler une densitéfZ deZainsi que sa fonction de répartitionFZ.
b. Quel est le temps moyen (en seconde) de la transmission d’un message par le serveurA.
c. ExprimerW en fonction deZ.
d. Montrer queW est une variable aléatoire à densité. En déterminer une densitéfW. e. Déterminer l’espérance de la variableW.
f. Compléter le programme suivant pour qu’il simule une valeur approchée deE(W).
(On expliquera la démarche.)
Z=grand(1000,1,’exp’,1) // 1000 réalisations de la loi de Z espZ=...
espW=...
disp(...)
4. On suppose que le temps de transmission d’un message en seconde par le serveurBest représenté par la variable aléatoireXdont une densité de probabilitéf est donnée par f(t) =
te−
t2
2 sit≥0 0 sit <0
.
(On admet que
Z +∞
0
e− t2
2dt= rπ
2 )
a. Vérifier quef est bien une densité de probabilité.
b. Déterminer la fonction de répartitionFX deX.
c. Calculer l’espérance de la variableX.
ECE 2 3/3 Lycée François Couperin
