ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 3 - Concours Blanc 1 - durée : 4h 20 janvier 2015 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Enoncer la formule des probabilités composées.
2. Qu'est-ce qu'une asymptote horizontale ? 3. Donner la dénition d'une suite monotone.
Exercice I.
Les 2 parties de l'exercice sont indépendantes.
Partie A.
On eectue3 tirages avec remise dans une urne contenant 2boules vertes et 4boules rouges.
On pose, pour k∈N∗, Vk={leke tirage donne une boule verte}. On dénit Rk=Vk. 1. Donner Ω. Quel est son cardinal ?
2. Les tirages sont-ils indépendants ? Justier.
3. Calculer P(V1).
Soit X le numéro du tirage où apparaît pour la première fois une boule verte.
Si aucune boule verte n'est apparue, on pose X = 0.
4. Exprimer les évènements [X = 1], [X = 2], [X = 3] et [X = 0] en fonction des évènements élémentaires Vk etRk.
5. Calculer les probabilités de ces4 évènements.
Partie B.
Une urne contient100dés cubiques, dont 80 sont équilibrés, et20 sont truqués.
Sur un dé truqué, la probabilité d'obtenir 6 est 1
2 et chacun des autres numéros apparaît avec une même probabilité.
1. Sur un dé truqué, montrer que la probabilité d'obtenir le 1est de 1 10. On prend un dé au hasard parmi les 100et on le lance une première fois.
On pourra prendre les notations :
T ={le dé choisi est truqué}, S={le 1er lancer donne un 6} et C={le1er lancer donne un 5} 2. Quelle est la probabilité d'obtenir un6?
3. On a obtenu un 5. Quelle est la probabilité que le dé soit truqué ? On considère également l'évènement S2 ={le second lancer donne un 6}
4. On a obtenu un 6. Montrer que la probabilité que l'on obtienne un nouveau 6 si l'on lance une seconde fois le dé est de 13
42.
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Exercice II.
On rappelle que la fonction valeur absolue x7−→ |x| est paire et continue surR.
On considère la fonction f dénie sur Rpar f(x) = ( 1
xe−|x|1 , six6= 0 0 , six= 0 1. Calculer f(1).
2. Etudier la continuité de f surR∗. 3. a. Calculer lim
x→0x6=0
f(x). (Si nécessaire, on séparera les calcul de lim
x→0x>0
f(x) de lim
x→0x<0
f(x).) b. Que peut-on en déduire ?
4. Etudier la parité de f surR.
On se restreint alors à R+.
5. Justier que ∀x >0, f(x) = 1 xe−1x. 6. a. Calculer lim
x→+∞f(x).
b. Par symétrie, en déduire lim
x→−∞f(x). c. Que cela signie-t-il graphiquement ? 7. Montrer que ∀x >0, f0(x) = 1
x2 1
x −1
e−x1. 8. En déduire l'étude des variations def.
9. Suivant la valeur du réelλ, déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x) =λ.
10. Tracer l'allure deCf surR. (On admettra que la tangente à l'origine est horizontale.) Exercice III.
On considère la suite (un)n∈Ndénie par u0 ∈R, et, ∀n∈N, un+1= u2n+ 1 2 .
On admet que si cette suite converge, alors sa limite est solution de l'équation : (E) :x= x2+ 1 2 . 1. Résoudre l'équation(E).
2. Etudier la monotonie de la suite(un)n∈N. 3. On suppose dans cette question que u0 = 1.
Déterminer la valeur de un pour tout entiern, ainsi que la limite de la suite.
4. On suppose à présent que u0 = 0.
a. Montrer que ∀n∈N, 0≤un<1.
b. Déduire des questions précédentes que la suite (un)n∈N est convergente.
c. Quelle est sa limite ? Pourquoi ? 5. On suppose que u0 = 2.
Déterminer, en justiant, la limite de la suite. (On pourra notamment utiliser les résultats du début de l'exercice.)
6. Sauriez-vous déterminer la limite de la suite(un)n∈N en fonction de la valeur deu0? (ceci pour tout réelu0)
7. a. Créer un programme Scilab demandant u0 à l'utilisateur, et calculant et achant les 100 premiers termes de la suite.
b. Quelle est la complexité de ce programme ? 2
