Université Grenoble-Alpes MAT201 - groupe IMA-4
CONTRÔLE CONTINU 1
15 FÉVRIER2018
Durée : 50 minutes. La calculatrice et les documents ne sont pas autorisés. Vous pouvez traiter les exercices dans l’ordre qui vous convient. La qualité de la rédaction et de la présen- tation, ainsi que la précision des justifications seront prises en compte dans la notation. Le barème est indicatif.
Questions de cours.(5 points)
1) Donner la définition d’un sous-groupe.
2) Soient (G,?) et (G0,?0) deux groupes etf :G→G0un morphisme de groupes.
a) Donner une condition nécessaire et suffisante sur le noyau kerf def pour quef soit injectif.
b) Démontrer ce résultat.
3) SoientKun corps,P∈K[X],a∈Ketm∈N∗. Que signifie « aest une racine de multi- plicitémdeP» ?
Exercice 1.(3 points) SoitH=©
(x,y)∈Z2|x+y est pairª .
1) Montrer queHest un sous-groupe de (Z2,+).
2) Montrer que ϕ: Z2 −→ H
(a,b) 7−→ (a, 2b−a)
est un morphisme de groupes bijectif (véri- fier queϕ(Z2)⊂H).
Exercice 2.(2 points)
a) Soitσla permutation de {1, . . . , 5} définie parσ=
µ 1 2 3 4 5 4 5 3 2 1
¶
, calculer les puis- sances successives deσpour la loi de composition◦.
b) Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne deX5−X2+2 parX2+1.
Exercice 3.(6 points)
Soit (G,?) un groupe d’élément neutree. On note Aut(G) l’ensemble desautomorphismes deG, c’est-à-dire des morphismes de groupes bijectifs deGdansG.
On rappelle que l’ensembleS(G) des bijections deGdansG,muni de la loi de composi- tion des applications◦, est un groupe. Au fait, quel est son élément neutre ?
1) Montrer que (Aut(G),◦) est un sous-groupe deS(G). (indication: que peut-on dire de la composée de deux morphismes ? De la fonction réciproque d’un automorphisme ?) 2) Soit g ∈G. Montrer que l’application Intg: G −→ G
h 7−→ g?h?g−1
est un automor- phisme de G.
1
3) Montrer que l’application Int : G −→ Aut(G) g 7−→ Intg
est un morphisme de groupes. (in- dication: bien se souvenir de quelles lois respectives sont munisGet Aut(G)).
4) Décrire le noyau de Int.
Exercice 4 : polynômes réciproques.(6 points) On dit queP=
n
P
k=0
akXk∈C[X] de degrénest unpolynôme réciproquesi
∀k∈{0, . . . ,n}, ak=an−k. On noteRl’ensemble des polynômes réciproques deC[X].
1) Les polynômes 1+2X+X2et 3+4X+5X2+3X3sont-ils réciproques ?
2) Montrer qu’un polynômeP de degrénest un polynôme réciproque si et seulement si P(X)=XnP
µ1 X
¶ .
3) Montrer que siP,Q∈RalorsPQ∈R. 4) SoitP∈R.
a) Siαest une racine deP, prouver queα6=0 et que 1/αest une racine deP.
b) Montrer que si 1 est une racine deP, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à 2.
c) Démontrer que si le degré dePest impair, alors−1 est racine deP.
d) Démontrer que siP est de degré pair et que−1 est racine deP, alors sa multipli- cité est supérieure ou égale à 2.
5) (Bonus)R∪{0} est-il un sous-anneau deC[X] ?
2
