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Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation

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Academic year: 2022

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ECE 2 MATHEMATIQUES DS 6 - durée : 4h

27 janvier 2021

Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Exercice I.

SoitEun espace vectoriel etB= (e1, e2, e3)une base deE. Soita∈R.

On considère l’endomorphismefadeE, dont la matrice dans la baseB= (e1, e2, e3)est donnée par

Ma=

a+ 2 −(2a+ 1) a

1 0 0

0 1 0

ainsi que la fonction polynômialeQdéfinie par Q(x) =x3−(a+ 2)x2+ (2a+ 1)x−a.

Partie A. Recherche des valeurs propres defa.

1. Montrer que le réelλest une valeur propre defasi et seulement siλest racine du polynômeQ.

2. Vérifier que le réelλ= 1est racine deQ.

3. FactoriserQ. En déduire ses racines, ainsi que leur nombre, en fonction dea.

4. Lorsquea= 1, l’endomorphismef1est-il diagonalisable ? Partie B. Réduction de la matriceMa.

Dans toute la suite de l’exercice on supposeadifférent de 1.

SoitB0 = (e01, e02, e03)la famille de vecteurs deEdéfinie par





e01 =a2e1+ae2+e3

e02 =e1+e2+e3

e03 = 2e1+e2 1. Prouver queB0est une base deE.

On notePala matrice de passage de la baseBà la baseB0. 2. Montrer quee01 est un vecteur propre defa.

3. Vérifier que le sous-espace vectorielF engendré par les vecteurse02ete03est stable parfaie fa(F)⊂F. (On pourra calculer les images parf des vecteurse02ete03.)

4. Donner l’expression de la matriceTade l’endomorphismefadans la nouvelle baseB0.

5. Démontrer par récurrence que ∀n∈N, Tan=

an 0 0 0 1 n 0 0 1

.

6. Créer un programme Scilab qui demandeaetnà l’utilisateur, et calcule et afficheMan. Partie C. Etude d’une suite récurrente linéaire.

Soit(un)n∈Nla suite de nombres réels définie par :

u0 = 1, u1=−1, u2= 0, et ∀n∈N, un+3 = 4un+2−5un+1+ 2un.

1. Vérifier que ∀n∈N,

 un+3 un+2

un+1

=M2

 un+2 un+1

un

.

2. Etablir par récurrence que ∀n∈N,

 un+2

un+1 un

=P2T2nP2−1

 u2

u1 u0

.

ECE 2 1/4 Lycée François Couperin

(2)

ECE 2 MATHEMATIQUES DS 6 - durée : 4h

27 janvier 2021

3. Donner l’expression matricielle de la matrice inverse deP2puis exprimerunen fonction den.

4. La suite(un)n∈

Nest-elle convergente ? Exercice II.

Dans cet exercice, on étudie des situations probabilistes liées à un jeu de dés à six faces.

Pour ce jeu, effectuer une partie consiste à lancer successivement deux dés équilibrés.

On définit :

— les v.a.D1etD2résultats respectifs du premier dé et du deuxième dé,

— les évènements E1= [D1< D2], E2= [D1 =D2] et E3= [D1> D2].

Lors d’une partie,

— si l’événementE1se produit, alors le joueur ne marque pas de point,

— si l’événementE2se produit, alors le joueur marque 2 points,

— si l’événementE3se produit, alors le joueur marque 1 point.

Partie A. Etude de parties successives.

Soitnun entier naturel non nul. Le joueur joue successivementnparties.

Pour tout entier natureli>1, on note :

— Xila variable aléatoire représentant le nombre de points marqués lors de lai`emepartie ;

— Yi le nombre total de points marqués aprèsiparties.

1. Calculer la probabilité de chacun des événementsE1,E2etE3.

2. Pouri∈ {1,2, . . . , n}, déterminer la loi de la v.a.Xipuis vérifier queE(X) = 3

4, et calculer saV(X).

3. Créer un programme Scilab qui simule la v.a.Xi, à partir du générateurrand()de loiU([0,1]).

4. Quelle est la loi de la variable aléatoireY1? 5. Déterminer la loi de la variable aléatoireY2.

6. a. Préciser l’ensembleY3(Ω)des valeurs prises par la variable aléatoireY3. b. Attention : question chronophage, et mal rémunérée. Ne pas y passer trop de temps !

Construire et remplir le tableau de la loi conjointe du couple(Y2, Y3).

(On justifiera précisément une valeur non nulle de ce tableau, les autres pouvant être données directement.) c. En déduire la loi de la variable aléatoireY3.

7. a. EcrireYnen fonction des variables aléatoiresX1,X2, ...,Xn. En déduire l’espérance mathématique et la variance deYn.

b. Combien de parties doit faire le joueur pour espérer obtenir plus de10points ? Partie B. Etude du temps d’attente.

Le joueur joue maintenant jusqu’à ce qu’il dépasse un nombre de points donné.

Plus précisément on noteT1(respectivementT2) la variable aléatoire représentant le nombre de parties effec- tuées par le joueur lorsque le total de ses points est supérieur ou égal à1(respectivement2) pour la première fois (si cet événement se produit).

Par exemple si les points marqués par le joueur sont dans l’ordre : Exemple 1 :0,0,1,0,1,2,... alorsT1 = 3etT2 = 5.

Exemple 2 :0,0,0,2,1,2,... alorsT1 = 4etT2 = 4.

ECE 2 2/4 Lycée François Couperin

(3)

ECE 2 MATHEMATIQUES DS 6 - durée : 4h

27 janvier 2021

1. a. Préciser l’ensembleT1(Ω)des valeurs prises par la variable aléatoireT1 puis, pour toutkapparte- nant àT1(Ω), calculer la valeur de la probabilitéP (T1=k).

b. Reconnaitre la loi deT1, et en déduire sans calcul la valeur de l’espérance et de la variance de la variable aléatoireT1.

2. a. Déterminer l’ensembleT2(Ω)des valeurs prises par la variable aléatoireT2. b. Calculer les probabilitésP (T2 = 1)etP (T2 = 2).

c. Prouver que, pourk>3, on a P (T2 =k) = 5

12 k−1

×1

6 + (k−1) 5

12 k−1

× 7 12. d. Vérifier que ce résultat est valable pourk= 1etk= 2.

e. Etablir que

+∞

X

k=1

P (T2 =k) = 1.

f. Interpréter le résultat précédent.

g. CalculerE(T2).

Exercice III.

Dans tout l’exercice,(Ω,A, P)désigne un espace probabilisé et toutes les variables aléatoires considérées seront supposées définies sur cet espace.

Partie A. Loi exponentielle

Dans toute cette partie,λdésigne un réel strictement positif.

1. Sans calcul, donner une densité, la fonction de répartition, l’espérance et la variance d’une variable aléa- toire suivant la loi exponentielle de paramètreλ.

2. Sans aucun calcul d’intégrale à proprement parler, mais en utilisant1, justifier la convergence, et donner la valeur, des intégrales

Z +∞

0

e−λxdx et

Z +∞

0

xe−λxdx.

3. a. SoitU une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur[0,1[.

Déterminer la loi de la variable aléatoire V =−1

λln(1−U).

b. Ecrire une fonction en Scilab qui, étant donné un réelλstrictement positif, simule la loi exponentielle de paramètreλ.

Partie B. Loi d’un maximum

On considère une suite(Xn)n∈N de v.a. indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1.

Pour toutndeN, on définit la variable aléatoireTn=max(X1, ..., Xn)qui, à toutωdeΩ, associe le plus grand des réelsX1(ω), ..., Xn(ω).

On notefnla fonction définie surRpar :

fn(x) =

ne−x(1−e−x)n−1 si x>0,

0 si x <0.

4. a. Vérifier quefnest une densité de probabilité.

b. Déterminer la fonction de répartitionFTn deTn.

(Attention : On ne sait pas encore à ce stade queTn est à densité, et quefnest une densité deTn, donc on utilisera uniquement le fait queTn=max(X1, ..., Xn).)

ECE 2 3/4 Lycée François Couperin

(4)

ECE 2 MATHEMATIQUES DS 6 - durée : 4h

27 janvier 2021

c. En déduire que, pour toutndeN,Tnest une variable aléatoire à densité, admettant pour densité la fonctionfn.

5. a. Montrer que, pour toutndeN, la variable aléatoireTnadmet une espérance.

b. DéterminerE(T1)etE(T2).

6. a. Vérifier que ∀n∈N, ∀x∈R+, fn+1(x)−fn(x) =− 1

n+ 1fn+10 (x).

b. Montrer ensuite, à l’aide d’une intégration par parties que :

∀n∈N,

Z +∞

0

x(fn+1(x)−fn(x))dx= 1 n+ 1

Z +∞

0

fn+1(x)dx.

c. En déduire, pour toutndeN, une relation entreE(Tn+1) etE(Tn), puis une expression deE(Tn) sous forme d’une somme.

Partie C. Loi du premier dépassement

Dans toute cette partie,adésigne un réel strictement positif.

On définit la variable aléatoireN égale au plus petit entierndeN tel queXn> asi un tel entier existe, et égale à 0 sinon.

7. Justifier l’égalité d’événements :[N = 0] =

+∞

\

k=1

[Xk6a]. En déduire la probabilitéP(N = 0).

8. Montrer que ∀n∈N,P(N =n) = (1−e−a)n−1e−a. 9. Déterminer l’espéranceE(N)et la varianceV(N).

On s’intéresse maintenant à la variable aléatoireZ, définie pour toutωdeΩpar :

Z(ω) =

XN(ω)(ω) si N(ω)6= 0

0 si N(ω) = 0

10. Justifier que P(Z 6a) = 0.

11. Soitx∈]a; +∞[

a. Soitn∈N, justifier l’égalité d’événements :

[N =n]∩[Z 6x] =

[a < X16x] si n= 1 [Tn−1 6a]∩[a < Xn6x] si n>2 En déduire la probabilitéP([N =n]∩[Z 6x]).

b. Montrer alors que P(Z 6x) = 1−ea−x.

12. a. Montrer que la variable aléatoireZ−asuit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

b. En déduire l’existence et la valeur deE(Z), ainsi que l’existence et la valeur deV(Z).

ECE 2 4/4 Lycée François Couperin

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