ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 2 - durée : 4 h 20 novembre 2010 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et pour- suivra sa composition, en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Cours.
1. Que signie que le réelα est racine d'ordre k∈N∗ du polynôme P? 2. Enoncer le théorème des gendarmes.
3. Donner la dénition de suites adjacentes.
Exercice I.
Résoudre le système (S) :
2 ln(x) − 3
y2−2 = 6
−5 ln(x) + 7
y2−2 = −13
Exercice II.
Déterminer l'ensemble des polynômes de degré3 vériant les conditions : P(1) = 3 , P
−1 2
= 1 , P0(0) =−1 et P0(−1) = 2.
Exercice III.
Soit le polynômeP déni par P(X) = 2X5−2X4−11
2 X3+ 2X2+5 2X−1. 1. P est-il divisible parX−2?
2. Vérier que−1est racine évidente, et déterminer son ordre de multiplicité.
3. En déduire une factorisation deP, sous la forme P(X) =C(X−2)k1(X+ 1)k2(X−α)2, où C >0, α >0, k1 et k2 sont à déterminer.
4. Résoudre l'inéquation P(x)≥0.
(Eventuellement en fonction des paramètres précédents, si vous n'avez pu les déterminer.) 5. Résoudre l'inéquation (I) : e4x−e3x−11
4 e2x+ex−e−x 2 +5
4 <0.
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Exercice IV.
On considère la suite (un)n∈N dénie par u0 =−1
2, u1 = 1
3 et ∀n∈N, un+2= 2un+1+3un−n+4.
Un des objectifs de l'exercice est de déterminer son terme général.
On pose, pourn∈N, vn=un−1 4n+ 1.
1. Montrer que ∀n∈N, vn+2= 2vn+1+ 3vn. 2. Comment nomme-t-on ce type de suite ? 3. Déterminer son terme général.
4. En déduire alors que ∀n∈N, un= (−1)na+ 3nb+cn+d, avec (a, b, c, d)∈R4 à déterminer.
5. Déterminer la limite de la suite(un)n∈N. 6. Calculer la somme S =
20
X
n=0
un.
Exercice V.
On dénit deux suites(un)n∈N et(vn)n∈N par : u0 = 2, v0 = 3 et ∀n∈N, un+1 = 2unvn
un+vn et vn+1= un+vn 2 .
1. a. Démontrer par récurrence sur n∈Nque les deux suites sont à termes strictement positifs.
b. En déduire que ∀n∈N, un≤vn.
c. Etudier la monotonie des suites (un)n∈N et(vn)n∈N. 2. a. Montrer que ∀n∈N, vn+1−un+1≤ 1
2(vn−un).
b. Vérier alors que ∀n∈N, 0≤vn−un≤ 1
2n(v0−u0).
c. En déduire lim
n→+∞(vn−un).
3. Déduire des questions précédentes que les deux suites sont convergentes.
4. Montrer que la suite produit(unvn)n∈N est constante.
5. En déduire alors la limite des suites(un)n∈N et(vn)n∈N.
6. Dans le cas général, où u0 >0 et v0 > 0 seraient quelconques, quelle serait la limite des suites ? Justier.
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