A rendre le 17/02/2015 TSI2, Lycée Jules Ferry DM7
2014/2015 1
Devoir maison 7
Instructions générales
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.
Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à attribution de points.
Les divers problèmes sont indépendants. Les diverses parties peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le candidat. Le candidat prendra soin de bien numéroter les questions.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les résultats numériques peuvent être donnés sous forme approchée.
'RQQpHVQXPpULTXHVHWPDWKpPDWLTXHVXWLOHVDX[WURLVSUREOqPHV
&RQVWDQWHVXQLYHUVHOOHV
FpOpULWpGHODOXPLqUHGDQVOHYLGHF PV SHUPpDELOLWpPDJQpWLTXHGXYLGHȝ π−6, SHUPLWWLYLWpGLpOHFWULTXHGXYLGHİ
π 6, PDVVHGHOpOHFWURQPH NJ
FKDUJHpOpPHQWDLUHH &
FKDUJHGHOpOHFWURQTH H &
DFFpOpUDWLRQGHODSHVDQWHXUJ PV
2SpUDWHXUVPDWKpPDWLTXHVHQFRRUGRQQpHVFDUWpVLHQQHV
GLYHUJHQFH
URWDWLRQQHO
ODSODFLHQG¶XQFKDPSVFDODLUH
ODSODFLHQG¶XQFKDPSYHFWRULHO
5HODWLRQFRQFHUQDQWOHVRSpUDWHXUVPDWKpPDWLTXHVYHFWRULHOV R HVWXQYHFWHXUHW =&
∆ VRQODSODFLHQ
7ULJRQRPpWULH
¸¹
¨ ·
©
§ −
¸¹
¨ ·
©
§ +
=
+ FRV
FRV FRV
FRVS T S T S T FRV FRV VLQ VLQ
S T S T
S T § + · § − ·
− = − ¨© ¸¹ ¨© ¸¹
[
VLQ VLQ]
FRV
VLQD E = D+E + D−E
1RWDWLRQFRPSOH[HSRXUXQHIRQFWLRQVFDODLUHGpSHQGDQWVLQXVRwGDOHPHQWGXWHPSV
3RXU XQH IRQFWLRQ UpHOOH [W= ;PFRVωW+ϕ RQ QRWHUD OD IRQFWLRQ FRPSOH[H [W FRUUHVSRQGDQWH
[ ]
H[S M M W M W
P P P
[ W =; M Wω +ϕ = ; H Hϕ ω =; Hω
R[W=5H[HW
;
P= ;
PH
Mϕ;P UHSUpVHQWHO¶DPSOLWXGHFRPSOH[HGH[HW M = − 2QDGRQF;P = ;P HWϕ
=DUJ ;P
3UHPLHUSUREOqPHRQGHVpOHFWURPDJQpWLTXHV
'DQVFHSUREOqPHQRXVQRXVSURSRVRQVG¶pWXGLHUGDQVXQSUHPLHUWHPSVODSURSDJDWLRQGHVRQGHV pOHFWURPDJQpWLTXHV GDQV OH YLGH SXLV GDQV XQ GHX[LqPH WHPSV OD UpIOH[LRQ G¶XQH RQGH SODQH SURJUHVVLYHPRQRFKURPDWLTXHVXUXQFRQGXFWHXUSDUIDLWWHOTX¶XQPLURLU
3UHPLqUHSDUWLHSURSDJDWLRQGHVRQGHVpOHFWURPDJQpWLTXHVGDQVOHYLGH
2Q YHLOOHUD GDQV WRXWH FHWWH SDUWLH j XWLOLVHU OHV RSpUDWHXUV YHFWRULHOV GH PDQLqUH ULJRXUHXVH HW FODLUH
2Q FRQVLGqUH XQ FKDPS pOHFWURPDJQpWLTXH ( % R ( GpVLJQH OH FKDPS pOHFWULTXH HW % OH FKDPSPDJQpWLTXH
/¶HVSDFHHVWUDSSRUWpDXUHSqUHFDUWpVLHQRUWKRQRUPpGLUHFW2[\]DVVRFLpjODEDVH
H &
[H&\ H
&
]
(FULUHOHVTXDWUHpTXDWLRQVGH0D[ZHOOHQSUpVHQFHGHFKDUJHVHWGHFRXUDQWV4XHGHYLHQQHQW FHVpTXDWLRQVGDQVOHYLGH"
0RQWUHUTXHOHVpTXDWLRQVGHSURSDJDWLRQGHVFKDPSV( HW %)&
GDQVXQHUpJLRQVDQVFKDUJHQL FRXUDQWRQWSRXUH[SUHVVLRQVUHVSHFWLYHV
&
∂ =
− ∂
∆ W
( ε µ ( HW
&
∂ =
− ∂
∆ W
% ε µ %
2QGHSODQHSURJUHVVLYHPRQRFKURPDWLTXH
2QFRQVLGqUHXQHRQGHSODQHSURJUHVVLYHPRQRFKURPDWLTXHGHSXOVDWLRQȦ
/HV H[SUHVVLRQV GHV FKDPSV ( HW % DVVRFLpV j FHWWH RQGH VRQW GRQQpHV HQ FRRUGRQQpHV FDUWpVLHQQHVSDUOHVUHODWLRQV
»¼
« º
¬
ª ¸
¹
¨ ·
©
§ −
= F
W [ (
W [
( FRV ω
HW
»
¼
« º
¬
ª ¸
¹
¨ ·
©
§ −
= F
W [
% W [
% FRV ω
R( HW VRQWGHVYHFWHXUVFRQVWDQWVWHOVTXH( ( \H&\ ( ]H&]
= + HW% %\H&\ %]H&]
+
=
4XHOOHHVWODGLUHFWLRQGHSURSDJDWLRQGHO¶RQGH"
-XVWLILHUOHIDLWTXHFHWWHRQGHHVWXQHRQGHSODQHSURJUHVVLYHHWPRQRFKURPDWLTXH
4XHUHSUpVHQWHODJUDQGHXUFGDQVO¶H[SUHVVLRQGHVFKDPSV(HW%"
4XHOHVWOHYHFWHXUG¶RQGHN
&
DVVRFLpjFHWWHRQGH"2QSUpFLVHUDFODLUHPHQWODGLUHFWLRQOHVHQVHW ODQRUPHGHN
&
9pULILHUTXHFHWWHRQGHVDWLVIDLWDX[pTXDWLRQVGHSURSDJDWLRQSUpFpGHQWHVjFRQGLWLRQTXHFVRLW OLpHjİHWȝSDUXQHUHODWLRQTXHO¶RQMXVWLILHUD
6WUXFWXUHGHO¶RQGHSODQHSURJUHVVLYHPRQRFKURPDWLTXH
/¶RQGHSODQHSURJUHVVLYHPRQRFKURPDWLTXHGpFULWHSUpFpGHPPHQWVHSURSDJHGDQVOHYLGH
(QXWLOLVDQWOHVpTXDWLRQVGH0D[ZHOOHWOHVGRQQpHVPDWKpPDWLTXHVIRXUQLHVHQGpEXWG¶pQRQFp pWDEOLUOHVH[SUHVVLRQVGHVFRPSRVDQWHV%\ HW %] GXYHFWHXU
% )&
HQIRQFWLRQGH(\ (]F ωWHW [
(QGpGXLUH
TXHOHFKDPSpOHFWULTXH)&(
HWOHFKDPSPDJQpWLTXH%)&
VRQWSHUSHQGLFXODLUHVHQWUHHX[
TXHOHVQRUPHVGXFKDPSpOHFWULTXHHWGXFKDPSPDJQpWLTXHVRQWWHOOHVTXH (
% = F )&
)&
9HFWHXUGH3R\QWLQJ
5DSSHOHU O¶H[SUHVVLRQ GX YHFWHXU GH 3R\QWLQJ 5)&
DVVRFLp j XQH RQGH pOHFWURPDJQpWLTXH (&
%&
4XHOOHHVWODVLJQLILFDWLRQSK\VLTXHGHFHYHFWHXU"
3UpFLVHUOHVXQLWpVGHFHYHFWHXU
'pWHUPLQHU O¶H[SUHVVLRQ GX YHFWHXU GH 3R\QWLQJ 5)&
UHODWLI j O¶RQGH SODQH SURJUHVVLYH PRQRFKURPDWLTXH GpFULWH SUpFpGHPPHQW 2Q H[SULPHUD 5)&
HQ IRQFWLRQ GHF
ε
( QRUPH GX YHFWHXU())&ωW[HWG¶XQYHFWHXUXQLWDLUHTXHO¶RQSUpFLVHUD
'pWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGHODYDOHXUPR\HQQHWHPSRUHOOHGXYHFWHXUGH3R\QWLQJ 5)&
HQIRQFWLRQ GHF
ε
(HWG¶XQYHFWHXUXQLWDLUHTXH O¶RQSUpFLVHUD
'HX[LqPHSDUWLHUpIOH[LRQG¶XQHRQGHSODQHSURJUHVVLYHPRQRFKURPDWLTXHVXU XQFRQGXFWHXUSDUIDLWHQLQFLGHQFHQRUPDOH
/¶HVSDFHHVWUDSSRUWpDXUHSqUHFDUWpVLHQRUWKRQRUPpGLUHFW2[\]DVVRFLpjODEDVH
H &
[H
&
\ H&
]
8QHRQGHSODQHSURJUHVVLYHPRQRFKURPDWLTXHSRODULVpHUHFWLOLJQHPHQWGHSXOVDWLRQȦGH YHFWHXU G¶RQGH N
&
VH SURSDJH GDQV OH YLGH VXLYDQW O¶D[H2[ GDQV OH VHQV GHV[ FURLVVDQWV /H FKDPS pOHFWULTXH TXL OXL HVW DVVRFLp V¶pFULW ( ())&L = FRVωW N[ H− ))&\
DYHF ( FRQVWDQW HWN OD QRUPH GX YHFWHXUG¶RQGH
4XHOOHHVWODGLUHFWLRQGHSRODULVDWLRQGXFKDPSpOHFWULTXH"
(Q[ O¶RQGHDUULYHVXUODVXUIDFHSODQHG¶XQPLURLUPpWDOOLTXHSDUIDLWHPHQWFRQGXFWHXUWHOTXH OHPRQWUHODILJXUHFLGHVVRXV'DQVXQWHOFRQGXFWHXURQDGPHWTXHOHVFKDPSV(&
HW%&
VRQWQXOV /¶RQGHLQFLGHQWHGRQQHDORUVQDLVVDQFHjXQHRQGHUpIOpFKLHVHSURSDJHDQWVXLYDQWO¶D[H2[GDQVOH VHQVGHV[GpFURLVVDQWV 6RQFKDPSpOHFWULTXH())&U
V¶pFULWGRQF
FRV
U U
( (=
ω
W N[+))& )))&
)LJXUHPLURLUSODQSDUIDLWHPHQWFRQGXFWHXU
2QGHLQFLGHQWH
2QGHUpIOpFKLH
PLURLU [
\
] 2
5HODWLRQVGHFRQWLQXLWp
(FULUHOHVUHODWLRQVGHFRQWLQXLWpRXUHODWLRQVGHSDVVDJHTXHGRLYHQWYpULILHUOHVFKDPSV()&
HW%&
O¶LQWHUIDFHDYHFOHFRQGXFWHXUSDUIDLWVXUOHSODQG¶pTXDWLRQ[ HQSUpFLVDQWELHQODVLJQLILFDWLRQj GHWRXVOHVWHUPHVLQWHUYHQDQWGDQVOHVpTXDWLRQV
'pWHUPLQDWLRQGXFKDPSpOHFWURPDJQpWLTXHUpVXOWDQW
0RQWUHUHQXWLOLVDQWOHVUHODWLRQVGHFRQWLQXLWpTXHOHFKDPSpOHFWULTXHUpIOpFKL())&U
HVWSRODULVp UHFWLOLJQHPHQWVXLYDQWO¶D[H2\
(WDEOLUO¶H[SUHVVLRQGH(
)))&
UHQIRQFWLRQGH( HWGXYHFWHXUXQLWDLUHH
&
\/H FKDPS PDJQpWLTXH LQFLGHQW %
))&
LHVW GRQQp SDU O¶H[SUHVVLRQ % %
))& )))&
L = LFRVω
W N[− (Q DUULYDQWVXUOHFRQGXFWHXUSDUIDLWLOGRQQHQDLVVDQFHjXQFKDPSPDJQpWLTXHUpIOpFKL))&%UWHOTXH
(QXWLOLVDQWOHVpTXDWLRQVGH0D[ZHOOGpWHUPLQHUOHVH[SUHVVLRQVGHVDPSOLWXGHV %
)))&
LHW%
)))&
U GHV FKDPSV PDJQpWLTXHV LQFLGHQW HW UpIOpFKL HQ IRQFWLRQ GH( F HW G¶XQ YHFWHXU XQLWDLUH TXH O¶RQ SUpFLVHUD0RQWUHUTXHOHVH[SUHVVLRQVGXFKDPSpOHFWULTXH()&
HWGXFKDPSPDJQpWLTXH %&
UpVXOWDQWGHOD VXSHUSRVLWLRQGHVFKDPSVLQFLGHQWVHWUpIOpFKLVGDQVOHGHPLHVSDFH[VRQWOHVVXLYDQWHV
HW
&RPPHQWQRPPHWRQFHW\SHG¶RQGH"
&KDUJHVHWFRXUDQWVVXUIDFLTXHV
(Q XWLOLVDQW OHV UHODWLRQV GH FRQWLQXLWp PRQWUHU TXH OD FKDUJH VXUIDFLTXH
σ
j OD VXUIDFH GX FRQGXFWHXUHVWQpFHVVDLUHPHQWQXOOH(QXWLOLVDQWOHVUHODWLRQVGHFRQWLQXLWpPRQWUHUTX¶LOH[LVWHQpFHVVDLUHPHQWXQHGHQVLWpVXUIDFLTXH GHFRXUDQWVXUIDFLTXH
))&
M6QRQQXOOHjODVXUIDFHGXFRQGXFWHXU 'pWHUPLQHU O¶H[SUHVVLRQ GH
))&
M6HQ IRQFWLRQ GH(
ε
ω
W F HW G¶XQ YHFWHXU XQLWDLUH TXH O¶RQ SUpFLVHUD3UHVVLRQGHUDGLDWLRQ
/HVFKDUJHVHQPRXYHPHQWjODVXUIDFHGXFRQGXFWHXUVRQWVRXPLVHVjXQHIRUFHGH/DSODFHGRQQpH SDU O¶H[SUHVVLRQG)
))& ))&
/ = M G6 %6 ∧))&
LHQ FRQVLGpUDQW OH FKDPS LQFLGHQW GDQV OH YLGH HW DX YRLVLQDJH LPPpGLDWGXPpWDO
5HPDUTXHRQDSULVXQLTXHPHQWOHFKDPSPDJQpWLTXHLQFLGHQW %
))&
LGDQVOHFDOFXOGHODIRUFHGH /DSODFH HW SDV OH FKDPS PDJQpWLTXH UpIOpFKL %))&U
(Q HIIHW OD GHQVLWp VXUIDFLTXH GH FRXUDQW
))&
M6 Q¶HVWSDVVRXPLVHj%))&USXLVTXHF¶HVWFHFRXUDQWTXLFUpHOHFKDPS%))&U 'pWHUPLQHU O¶H[SUHVVLRQ GH OD IRUFH GH /DSODFH )))&/
TXL V¶DSSOLTXH VXU XQH VXUIDFH6 GX FRQGXFWHXU 2Q H[SULPHUD )))&/
HQ IRQFWLRQ GH(
ε
ω
W6 HW G¶XQ YHFWHXU XQLWDLUH TXH O¶RQ SUpFLVHUD'pWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGHODSUHVVLRQ3 DLQVLDSSOLTXpHVXUOH FRQGXFWHXU([SULPHU3HQ IRQFWLRQGH(
ε
ω
HWW'pWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGHODYDOHXUPR\HQQHWHPSRUHOOH 3 GHODSUHVVLRQ3 5HPDUTXHODSUHVVLRQDLQVLPLVHHQpYLGHQFHHVWDSSHOpHSUHVVLRQGHUDGLDWLRQ
7UDQVSRUWG¶pQHUJLH
'pWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGXYHFWHXUGH3R\QWLQJܴሬԦGHO¶RQGHUpVXOWDQWHDLQVLTXHVDYDOHXUPR\HQQH WHPSRUHOOH )&5
4XHOVFRPPHQWDLUHVSHXWRQIDLUHSDUUDSSRUWjODYDOHXUWURXYpH"