Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de ()

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Les calculatrices sont interdites.

* * *

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de M

n

( )

!

Notations

Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note :

( )

n !

M : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n.

( )

,1

n !

M : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne.

Pour une matrice A de Mn

( )

! , A^t est sa matrice transposée, rang( A son rang et Tr) ( A sa trace. ) I_n : la matrice unité de Mn

( )

! .

( )

n !

S : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn

( )

! .

( )

n !

A : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de Mn

( )

! .

( )

n

+ !

S : l’ensemble des matrices positives de Sn

( )

! c’est-à-dire des matrices A de Sn

( )

! vérifiant : pour toute matrice X ∈Mn,1

( )

! , ^tX AX ≥0.

GL_n( ! ) : le groupe des matrices inversibles de Mn

( )

! .

( )

n !

O : le groupe des matrices réelles orthogonales c’est-à-dire des matrices M de Mn

( )

! vérifiant : ^tMM = . I_n

Pour p entier naturel, ∆_p est l’ensemble des matrices de Mn

( )

! de rang supérieur ou égal à p et

∇p est l’ensemble des matrices de Mn

( )

! de rang inférieur ou égal à p.

_______________________

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Objectifs

Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la question II.3.) d’une matrice à :

dans la partie II., Sn

( )

! et An

( )

! par le théorème de projection orthogonale, dans la partie III., On

( )

! par le théorème de décomposition polaire,

dans la partie IV., ∆_p par des notions de densité,

dans la partie V., ∇_p par le théorème de Courant et Fischer.

La partie I. traite un exemple qui sera utilisé dans les différentes parties.

Remarque : dans le texte, le mot « positif » signifie « supérieur ou égal à 0 ».

I.

^Exercice préliminaire

1.

Soit la matrice

















−

−

−

−

−

−

= Γ

2 1 1

1 1 2

1 2 1

de M3

( )

! , on pose H = ^tΓΓ.

Diagonaliser la matrice H et déterminer une matrice P de O3

( )

! et une matrice diagonale D à termes tous positifs telles que D² =P⁻¹H P.

2.

On pose S =P DP⁻¹∈ 3

( )

+ !

S , montrer que la relation Γ=U S définit une matrice

∈

U O3

( )

! et calculer cette matrice.

II.

Calcul de la distance de A à Sn

( )

! et à An

( )

!

3.

Soit A et B deux matrices de Mn

( )

! ,on pose (A B)=Tr(^tAB). Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur Mn

( )

! .

La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée : A =((A A))²¹.

Dans tout le sujet, si Π est une partie non vide de Mn

( )

! , la distance d’une matrice A de

( )

n !

M à la partie Π est le réel d A A M

M −

= Π) inf∈Π

,

( .

4.

Montrer que Mn

( )

! = Sn

( )

! ⊕An

( )

! et que cette somme directe est orthogonale.

5.

Si A est une matrice de Mn

( )

! , montrer que d( A,Sn

( )

! ) ( ) 2

1 A−^tA

= et déterminer de

même ,d( A An

( )

! ).

6.

Calculer d(Γ,A3

( )

! ) où Γ est la matrice exemple de la partie I.

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III.

Calcul de la distance de A à On

( )

!

A.

Théorème de la décomposition polaire

7.

Montrer qu’une matrice S de Sn

( )

! appartient à n

( )

+ !

S si et seulement si toutes les valeurs propres de S sont positives ou nulles.

8.

Si A est une matrice de Mn

( )

! montrer que la matrice ^tA A∈ n

( )

+ !

S .

9.

Soit A une matrice de Mn

( )

! , on suppose qu’il existe une matrice diagonale D=diag(d₁,d₂,...,d_n) à termes positifs telle que ^tA A=D².

On note A₁, A₂,...,A_n les matrices de Mn,1

( )

! qui forment les colonnes de la matrice A.

a. Pour tout couple (i, j) d’entiers naturels compris entre 1 et n, évaluer ^tA_i A_j. En particulier, si i est un entier pour lequel d_i =0, que vaut A ? _i

b. Montrer que l’on peut trouver une base orthonormée (E₁,E₂,...,E_n) de Mn,1

( )

! (par rapport au produit scalaire canonique X, Y =^tX Y de Mn,1

( )

! ) telle que, pour tout entier naturel i entre 1 et n, A_i =d_i E_i.

c. En déduire qu’il existe une matrice E de On

( )

! telle que A=E D.

10.

Soit A et B deux matrices de Mn

( )

! vérifiant ^tA A= ^tB B.

a. Montrer qu’il existe une matrice diagonale D à termes positifs et une matrice orthogonale P telles que : P^−1tAAP=P^−1tBBP=D².

b. Montrer qu’il existe une matrice U de On

( )

! telle que A=U B.

11.

Déduire des questions précédentes le théorème de décomposition polaire :

Pour toute matrice A de Mn

( )

! , il existe une matrice U de On

( )

! et une matrice S de

( )

n

+ !

S telles que A=U S.

(Remarque : on peut également établir l’unicité de la matrice S de n

( )

+ !

S et même l’unicité de la matrice U de On

( )

! si A est de plus inversible dans cette décomposition mais ce ne sera pas utile pour la suite du problème).

B.

Calcul de d( A, On

( )

! )

12.

Montrer que, pour toute matrice M de Mn

( )

! et pour toute matrice Ω de On

( )

! , M

M

M Ω = Ω = .

13.

Dans la suite de cette partie, soit A une matrice de Mn

( )

! , soit U∈On

( )

! et S∈ n

( )

+ !

S

telles que A=U S; il existe une matrice diagonale D et une matrice P de On

( )

! telles que

−1

=PD P

S .

a. Montrer que, pour toute matrice Ω de On

( )

! , A−Ω = S−U⁻¹Ω et en déduire que ,

( A

d On

( )

! )=d(S,On

( )

! ).

b. Montrer que d( A,On

( )

! )=d(D,On

( )

! ).

14.

On note D=diag(λ₁,λ₂,...,λ_n).

a. Montrer que pour toute matrice Ω de On

( )

! , 2

1 2 2

− λ

= Ω

−

∑

= n

i

D i Tr(DΩ)+n. b. Montrer que pour toute matrice Ω de On

( )

! , Tr

∑

=

λ

≤

Ω ⁿ

i

D i

1

)

( .

c. Conclure que d(D,On

( )

! )= D−I_n .

15.

Montrer que d( A,On

( )

! )= A−U .

16.

Calculer d(Γ,O3

( )

! ) où Γ est la matrice exemple de la partie I.

IV.

Calcul de la distance de A à ∆_p

17.

Un résultat de densité.

a. Soit M un élément de Mn

( )

! , montrer qu’il existe un réel α>0 tel que pour tout réel λ vérifiant 0<λ<α, la matrice M −λI_nest inversible.

b. En déduire que GL_n( ! ) est dense dans Mn

( )

! .

18.

Soit A un élément de Mn

( )

! , déterminer, pour tout entier naturel p≤ , ,n d( A ∆_p).

V.

Calcul de la distance de A à ∇_p

A.

Théorème de Courant et Fischer

Soit A une matrice de Sn

( )

! . On notera λ₁ ≥λ₂ ≥...≥λ_n ses valeurs propres, on notera D=diag(λ₁,λ₂,...,λ_n), P la matrice de On

( )

! vérifiant A=P D ^tP et C₁,C₂,...,C_n les matrices de Mn,1

( )

! formant les colonnes de la matrice P.

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Si k est un entier entre 1 et n, on note Ψ l’ensemble des sous-espaces vectoriels de _k Mn,1

( )

! de dimension k. Nous allons montrer que :

{ } X X

X A X

t t F k X

k maxF min0

−

∈ Ψ

= ∈

λ (théorème de Courant et Fischer).

19.

Soit X un vecteur de Mn,1

( )

! de coordonnées (x₁,x₂,..., x_n) dans la base orthonormée )

..., , ,

(C₁ C₂ C_n de Mn,1

( )

! . Calculer en fonction des x_i et λ (i compris entre 1 et n) : _i X

A

tX

et ^tX X et pour k entier entre 1 et n,

k k t

k k t

C C

C A C .

20.

Soit k entier entre 1 et n, on pose F_k =vect{C₁,C₂,...,C_k}.

Montrer que pour tout X non nul de F_k, _{t k}

t

X X

X A

X ≥λ et déterminer

{ } X X

X A X

t t Fk Xmin0

−

∈ .

21.

Soit F∈Ψ_k,

a. montrer que dim(F∩vect{C_k,C_k+1,...,C_n})≥ . 1

b. Si X est un vecteur non nul de F∩vect{C_k,C_k+1,...,C_n}, montrer que _{t k}

t

X X

X A

X ≤λ .

22.

Conclure.

B.

Calcul de d( A,∇_p)

Dans toute cette partie : A est une matrice de Mn

( )

! de rang r et p est un entier naturel, p< . r

23.

Montrer qu’il existe deux matrices E et P de On

( )

! et une matrice diagonale D à termes

positifs telles que A= E DP. En déduire que le rang de la matrice ^tAA est encore r.

(On pourra utiliser les résultats de la question 9

.

)

24.

Si on note les valeurs propres de la matrice symétrique réelle ^tAA de rang r : 0

2 ...

1 ≥µ ≥ ≥µ >

µ _r et 0µ_r+1 =...=µ_n = , si on pose D=diag( µ₁, µ₂,..., µ_r,0,...,0), si pour 1≤l≤n on note M_l la matrice de Mn

( )

! dont la l-ième colonne est celle de la matrice E ∈On

( )

! de la question 23., tous les autres termes de M_l étant nuls, on a clairement : E D

∑

=

µ

= ⁿ

l

l

l M

1

.

Montrer alors qu’il existe une famille orthonormale (R₁,R₂,....,R_n) de matrices de Mn

( )

! (pour le produit scalaire (A B)=Tr(^tAB) de Mn

( )

! ), toutes de rang un, et telles que

∑

=

µ

= ⁿ

l

l l R A

1

=

∑

= r µ

l

l

l R

1

.

25.

Avec les notations de la question

24,

on pose

∑

=

µ

= ^p

l

l l R N

1

. Montrer que rang(N )≤ p puis que d( A,∇_p)≤ µ_p+1 +...+µ_r .

26.

Soit M une matrice de rang p (p<r), on note α₁ ≥α₂ ≥...≥α_n ≥0 les valeurs propres de la matrice )^t(A−M)(A−M et on pose G=KerM ∩Im(^tA A).

Soit k un entier compris entre 1 et r− . p a. Montrer que dimG≥r− p.

b. Soit F un sous-espace vectoriel de G de dimension k, montrer que :

{ } X X

X A A X

t t t F

k Xmin0

−

≥ ∈

α .

c. On note (V₁,V₂,...,V_n) une base de ! formée de vecteurs propres de la matrice ^{n t}AA, le vecteur V_i étant associé à la valeur propre µ_i de telle sorte que : µ₁ ≥µ₂ ≥...≥µ_r >0 et

0

1 =...=µ =

µ_{r+ n} .

Montrer que dim(G∩vect{V₁,V₂,...,V_k+p})≥k. d. En déduire que α_k ≥µ_k+p.

27.

En déduire d( A,∇_p).

28.

Calculer, pour p∈

{

^0,1,2,3

}

, γ_p = d(Γ,∇_p^{) où} Γ est la matrice exemple de la partie I.

Fin de l’énoncé.