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(1)

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Les calculatrices sont interdites.

* * *

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Fonctions de matrices

Notations :

1. Les -algèbres suivantes sont considérées au cours de ce texte : L’algèbre M _n () des matrices carrées réelles d’ordre n.

Si I est un intervalle de , d’intérieur non vide, on note C _I ^∞ l’algèbre commutative des fonctions de classe C ^∞ de I dans .

L’algèbre des fonctions polynomiales de I dans  est usuellement identifiée à l’algèbre  [ ] X . 2. On y rencontre aussi les -espaces vectoriels suivants :

L’espace des colonnes réelles à n lignes noté M _n _, ₁ ().

L’espace  N [ ] X = { P ∈  [ ] X / deg P ≤ N } , où N ∈ .

3. Les notions de convergence dans M _n _, ₁ () et M _n () sont relatives aux normes respectives :

n k

k x

X ∞ = ≤ ≤ 1

Max , si X = ^t [ x ₁ , ...., x _n ] .

n ij j

i m

n M = ≤ ≤

,

1 Max , si [ ]

n j

n ij i

m M

≤

≤ ≤ ≤

=

1 1 .

Objectifs du problème

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

(2)

Lorsque P ∈  [ ] X et A ∈ M _n (), on sait donner un sens à la matrice P ( ) A et l’on maîtrise bien le calcul polynomial sur A qui en résulte. En particulier, si M est une matrice de M _n (), on appelle

POLYN Ô ME MINIMAL de M le polynôme unitaire P de plus bas degré tel que P M ⁽ ⁾ = 0 ; il est immédiat (et on l’admettra) qu’il s’agit du polynôme minimal de l’endomorphisme u de R ⁿ dont M est la matrice dans la base canonique de R ⁿ .

Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens à la matrice f ( ) A POUR TOUTE FONCTION f DE CLASSE C ^∞ , et cela moyennant des hypothèses convenables sur la matrice A.

Autrement dit, on apprend à maîtriser un certain calcul fonctionnel sur A.

Dans un second temps, on exploite ces résultats pour résoudre un système différentiel linéaire.

Notations fixées pour tout le problème :

On considère une matrice A de M _n () et l’on SUPPOSE que son polynôme minimal Π _A peut être écrit sous la forme : Π _A ( ) ( X = X − λ ₁ ) ^m ¹ ... ( X − λ _r ) ^m ^r avec : r ≥ 1 ; les λ _j sont des

R É ELS distincts ; les m _j sont dans  ^* . On note alors ∑

≤

=

r j m j

m

1 le degré de Π _A . On considère aussi un intervalle I de , d’intérieur non vide et contenant tous les λ _j .

La matrice A et l’intervalle I sont particularisés dans les divers exemples traités au cours du problème.

Préliminaires :

1. Établir que pour X dans M _n _, ₁ () et M dans M _n (), on a : MX _∞ ≤ M X _∞ .

2. Soit M un sous-espace vectoriel de dimension d ≥ 1 de M _n (), et soit β = ( B ₁ ,..., B _d ) une base de M ^.

a) Montrer que l’on définit une norme N ^sur M en posant ( ) _k

d

k x

M = ≤ ≤ 1 Max

N ^{, si}

∑ ≤

≤

=

d k x k B k

M

1 est la décomposition de l’élément M de M sur la base β .

b) Justifier l’existence de constantes réelles strictement positives a et b vérifiant :

( )

,

M a M M b M

∀ ∈ M ≤ N ≤ ^.

c) Soit ( ) ^M _p _p _∈ _ une suite d’éléments de M ; on note ( ) _k

d

k p

p x k B

M ∑

≤

=

1 la décomposition de M _p sur β . Montrer que la suite ( ) ^M _p _p _∈ _ converge vers 0 dans ( M _n (), ) si et seulement si CHAQUE SUITE R É ELLE ( ^x _p ( ) ^k ) _p _∈ _ ( k = 1 ,..., d ) converge vers 0.

I – Une relation d’équivalence sur C _I ^∞

(3)

Tournez la page S.V.P.

On convient de dire que des fonctions f et g de C _I ^∞ « coïncident sur le spectre de A » lorsque : { r }

j ∈ 1 ,...,

∀ , ^∀ ^k ^∈ { ⁰ ^,..., ^m _j ⁻ ¹ } ^, ^f ^{( )} ^k ( ) ^λ _j ⁼ ^g ^{( )} ^k ( ) ^λ _j . Ce que l’on résume par la notation f g

≡ A . Un exemple : si Π _A ( ) X = X ² ( X + 1 ) la notation f g

≡ A signifie : f ( ) 0 = g ( ) 0 , f ′ ( ) 0 = g ′ ( ) 0 et ( ) − 1 = g ( ) − 1

f .

3. Soient _l dans  ^* , λ dans I et f dans C _I ^∞ vérifiant : f ^{( )} ^k ( ) λ = 0 pour k = 0 , 1 , 2 ,..., l − 1 . a) Établir l’identité : ( ) ( )

( ^u ) ^f ^{( )} ^u ^du x x

f I

x ^x ( )

!

, 1 ^l ¹ ^l

∫ _λ l ⁻ ₋ ⁻

=

∈

∀ .

b) En déduire à l’aide d’un changement de variable, l’existence d’une fonction h vérifiant : (1) ∀ x ∈ I , f ( ) ( x = x − λ ) ( ) ^l h x

(2) h ∈ C _I ^∞ 4. Soient f et g dans C _I ^∞ .

a) On suppose : ∃ h ∈ C _I ^∞ , f = + Π g h _A .

En considérant les dérivées successives de f − g , établir que f g

≡ A . b) On suppose f g

≡ A ; en exploitant le 3. justifier l’existence de h dans C _I ^∞ vérifiant : f = + Π g h A .

5. Soient P et Q dans  [ ] X ; prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (1) P Q

≡ A

(2) ∃ H ∈  [ ] X , P Q H = + Π _A .

II – Définition de la matrice f ( ) A

A. On considère l’application ϕ de  m – 1 [ ] X vers  ^m qui associe à un polynôme P le m-uplet : ( ) ( ( ^{( )} ( ) 1 ) ₀ ₁ ,..., ( ^{( )} ^{( )} ) ₀ ₁ )

1 1

1 λ ≤ ≤ − λ ≤ ≤ −

=

ϕ r r

r r k m

m k

k k P

P

P .

6. Établir le caractère bijectif de ϕ .

7. Soit f dans C _I ^∞ ; justifier l’existence d’un et d’un seul polynôme P _f de  [ ] X , de degré inférieur ou égal à ( m − 1 ) et tel que : _f

A P

f ≡ . On convient alors de D É FINIR la matrice f ( ) A en posant : f ( ) A = P _f ( ) A .

B. Quelques exemples

(4)

8. On suppose ici que f est polynomiale et l’on écrit : ( ) ∑

=

∈

∀ ^N

k k x k

a x

f I x

0 , .

En effectuant une division euclidienne, montrer qu’avec la définition de la question 7, on obtient le résultat naturel : ( ) ∑

=

= ^N

k k A k

a A

f

0 .

9. I CI : ₂

3 4

4 5 M

A  ∈



 





−

= − () et I = .

a) Calculer Π _A ( ) X .

b) Calculer la matrice f ( ) A dans chacun des cas suivants : (1) f ( ) x = ax + b , les réels a et b étant donnés.

(2) f x ( ) = sin ( ) π x

(3) f ( ) ( x = x − 1 ) ( ) ² g x , où la fonction g est donnée dans C _I ^∞ .

III – Le calcul systématique de f ( ) A

A. Une formule générale

10. En exploitant l’isomorphisme linéaire ϕ du II.A, justifier l’existence et l’unicité de polynômes Q _j _, _k ( 1 ≤ j ≤ r , 0 ≤ k ≤ m _j − 1 ) vérifiant :

pour TOUTE fonction f de C _I ^∞ , on a : ∑ ∑ ^{( )} ( )

≤

≤ ≤ ≤ − λ

=

r

j k m k j j k

f

j

Q f

P

1 0 1 ,

On considère alors les matrices dites « associées » à A : ( ) A

Q

Z _j _, _k = _j _, _k ( ¹ ^≤ ^j ^≤ ^r ^, ⁰ ^≤ ^k ^≤ ^m _j ⁻ ¹ ) ^.

11. Montrer que les diverses matrices Z _j _, _k sont linéairement indépendantes et que :

∈ ∞

∀ f C _I , ( ) ∑ ∑ ^{( )} ( )

≤

≤ ≤ ≤ −

λ

=

r

j k m k j j k

j

Z f

A f

1 0 1 ,

B. Deux exemples 12. I CI :  

 





−

= −

3 4

4 A 5 et I =  ^* ₊ .

a) Justifier l’existence de matrices Z ₁ et Z ₂ de M ₂ () telles que : ∀f ∈ C _I ^∞ , f ( ) A = f ( ) 1 Z ₁ + f ′ ( ) 1 Z ₂ .

b) E N D É DUIRE le calcul de Z ₁ et Z ₂ .

c) Calculer les matrices A ²⁰⁰⁴ , A et plus généralement A ^α pour α dans  ^* ₊ .

(5)

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13. I CI : ₃

0 1 1

1 2 2

1 1 1

M

A ∈

 





 





−

= () et I = .

a) Présenter sous forme factorisée le polynôme Π _A ( ) X . La matrice A est-elle diagonalisable dans M ₃ () ?

b) Calculer les matrices Z _j _, _k « associées » à A.

IV – Un calcul fonctionnel sur la matrice A A. Quelques identités bien naturelles

14. Soient f et g dans C _I ^∞ et α dans .

a) Que valent P _α _f et P _f ₊ _g ?

b) Justifier l’existence d’un polynôme H de  [ ] X tel que : P _fg = P P _f _g + Π H _A .

15. a) Montrer que l’application S : f a f A ^{( )} de C _I ^∞ dans M _n ^{( )} R est un morphisme de

-algèbres.

b) Quel est son noyau ?

16. On considère les fonctions cosinus et sinus de  dans , puis les fonctions f ₁ : x a x et x x

f ₂ : a 1 de  ^* ₊ dans . On peut ainsi D É FINIR les matrices cos A , sin A , et même A et A 1 si les λ _j sont dans  ^* ₊ .

a) En exploitant le morphisme S, calculer ( cos A ) ( ² + sin A ) ² .

b) On suppose ici que les λ _j sont strictement positifs. Reconnaître : ( ) ^A ² ^et

A 1 . B. Le spectre de f ( ) A

17. Montrer que l’ensemble noté M A ⁼ { f ( ) A / f ^∈ C I ^∞ } est une sous-algèbre COMMUTATIVE de M n () et préciser sa dimension.

18. Montrer que si un élément de M _A est inversible dans M _n () alors son inverse est aussi dans M A ^.

19. Soit f dans C _I ^∞ ; établir l’équivalence des énoncés suivants :

(1) f ( ) A est inversible dans M _n ().

(6)

(2) ∀ j ∈ { 1 ,..., r } f ( ) λ _j ≠ 0

20. Si M est une matrice de M _n (), on note Λ _M l’ensemble de ses valeurs propres R É ELLES . En exploitant la question 19 comparer les ensembles : Λ _A et Λ _f _{( )} _A où f est donnée dans C _I ^∞ .

V – Application à la résolution d’un système différentiel

21. Soient ( ) ^f _p _p _∈ _ une suite de fonctions de C ^I ^∞ et f dans C _I ^∞ . Établir l’équivalence des énoncés suivants :

(1) La suite de matrices ( f _p ( ) A ) _p _∈ _ converge dans M ⁿ () vers f ( ) A .

(2) Pour chaque j ( 1 ≤ j ≤ r ) et chaque k ( 0 ≤ k ≤ m _j − 1 ) , la suite réelle ( ^{( )} k ( ) ^λ j ) _p _∈

f p _

converge vers f ^{( )} ^k ( ) λ _j .

Lorsque la condition (2) est réalisée, on convient de dire que la suite de fonctions ( ) ^f _p _p _∈ _

« converge vers f sur le spectre de A ».

22. Pour t réel, on considère la fonction f _t : x a e ^tx de  dans . Montrer que : ( ) ^l

l l

l A A t

f _t ∑ ^+∞

=

0 ! . Il s’agit donc précisément de la matrice usuellement notée ^exp ( ) ^{t A} ^.

23. En exploitant les résultats acquis à ce stade du problème, résoudre le système différentiel :

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Les calculatrices sont interdites.

* * *

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Fonctions de matrices

Notations :

1. Les -algèbres suivantes sont considérées au cours de ce texte : L’algèbre M n () des matrices carrées réelles d’ordre n.

Si I est un intervalle de , d’intérieur non vide, on note C I ∞ l’algèbre commutative des fonctions de classe C ∞ de I dans .

L’algèbre des fonctions polynomiales de I dans  est usuellement identifiée à l’algèbre  [ ] X . 2. On y rencontre aussi les -espaces vectoriels suivants :

L’espace des colonnes réelles à n lignes noté M n , 1 ().

L’espace  N [ ] X = { P ∈  [ ] X / deg P ≤ N } , où N ∈ .

3. Les notions de convergence dans M n , 1 () et M n () sont relatives aux normes respectives :

n k

k x

X ∞ = ≤ ≤ 1

Max , si X = t [ x 1 , ...., x n ] .

n ij j

i m

n M = ≤ ≤

,

1 Max , si [ ]

n j

n ij i

m M

≤

≤ ≤ ≤

=

1 1 .

Objectifs du problème

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Lorsque P ∈  [ ] X et A ∈ M n (), on sait donner un sens à la matrice P ( ) A et l’on maîtrise bien le calcul polynomial sur A qui en résulte. En particulier, si M est une matrice de M n (), on appelle

POLYN Ô ME MINIMAL de M le polynôme unitaire P de plus bas degré tel que P M ( ) = 0 ; il est immédiat (et on l’admettra) qu’il s’agit du polynôme minimal de l’endomorphisme u de R n dont M est la matrice dans la base canonique de R n .

Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens à la matrice f ( ) A POUR TOUTE FONCTION f DE CLASSE C ∞ , et cela moyennant des hypothèses convenables sur la matrice A.

Autrement dit, on apprend à maîtriser un certain calcul fonctionnel sur A.

Dans un second temps, on exploite ces résultats pour résoudre un système différentiel linéaire.

Notations fixées pour tout le problème :

On considère une matrice A de M n () et l’on SUPPOSE que son polynôme minimal Π A peut être écrit sous la forme : Π A ( ) ( X = X − λ 1 ) m 1 ... ( X − λ r ) m r avec : r ≥ 1 ; les λ j sont des

R É ELS distincts ; les m j sont dans  * . On note alors ∑

≤

≤

=

r j m j

m

1

le degré de Π A . On considère aussi un intervalle I de , d’intérieur non vide et contenant tous les λ j .

La matrice A et l’intervalle I sont particularisés dans les divers exemples traités au cours du problème.

Préliminaires :

1. Établir que pour X dans M n , 1 () et M dans M n (), on a : MX ∞ ≤ M X ∞ .

2. Soit M un sous-espace vectoriel de dimension d ≥ 1 de M n (), et soit β = ( B 1 ,..., B d ) une base de M .

a) Montrer que l’on définit une norme N sur M en posant ( ) k

d

k x

M = ≤ ≤ 1 Max

N , si

∑ ≤

≤

=

d k x k B k

M

1

est la décomposition de l’élément M de M sur la base β .

b) Justifier l’existence de constantes réelles strictement positives a et b vérifiant :

( )

,

M a M M b M

∀ ∈ M ≤ N ≤ .

c) Soit ( ) M p p ∈  une suite d’éléments de M ; on note ( ) k

d

k p

p x k B

M ∑

≤

≤

=

1

la décomposition de M p sur β . Montrer que la suite ( ) M p p ∈  converge vers 0 dans ( M n (), ) si et seulement si CHAQUE SUITE R É ELLE ( x p ( ) k ) p ∈  ( k = 1 ,..., d ) converge vers 0.

1. Les -algèbres suivantes sont considérées au cours de ce texte : L’algèbre M _n () des matrices carrées réelles d’ordre n.

Si I est un intervalle de , d’intérieur non vide, on note C _I ^∞ l’algèbre commutative des fonctions de classe C ^∞ de I dans .

L’espace des colonnes réelles à n lignes noté M _n _, ₁ ().

3. Les notions de convergence dans M _n _, ₁ () et M _n () sont relatives aux normes respectives :

Max , si X = ^t [ x ₁ , ...., x _n ] .

Lorsque P ∈  [ ] X et A ∈ M _n (), on sait donner un sens à la matrice P ( ) A et l’on maîtrise bien le calcul polynomial sur A qui en résulte. En particulier, si M est une matrice de M _n (), on appelle

POLYN Ô ME MINIMAL de M le polynôme unitaire P de plus bas degré tel que P M ⁽ ⁾ = 0 ; il est immédiat (et on l’admettra) qu’il s’agit du polynôme minimal de l’endomorphisme u de R ⁿ dont M est la matrice dans la base canonique de R ⁿ .

Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens à la matrice f ( ) A POUR TOUTE FONCTION f DE CLASSE C ^∞ , et cela moyennant des hypothèses convenables sur la matrice A.

On considère une matrice A de M _n () et l’on SUPPOSE que son polynôme minimal Π _A peut être écrit sous la forme : Π _A ( ) ( X = X − λ ₁ ) ^m ¹ ... ( X − λ _r ) ^m ^r avec : r ≥ 1 ; les λ _j sont des

R É ELS distincts ; les m _j sont dans  ^* . On note alors ∑

le degré de Π _A . On considère aussi un intervalle I de , d’intérieur non vide et contenant tous les λ _j .

1. Établir que pour X dans M _n _, ₁ () et M dans M _n (), on a : MX _∞ ≤ M X _∞ .

2. Soit M un sous-espace vectoriel de dimension d ≥ 1 de M _n (), et soit β = ( B ₁ ,..., B _d ) une base de M ^.

a) Montrer que l’on définit une norme N ^sur M en posant ( ) _k

N ^{, si}

∀ ∈ M ≤ N ≤ ^.

c) Soit ( ) ^M _p _p _∈ _ une suite d’éléments de M ; on note ( ) _k

la décomposition de M _p sur β . Montrer que la suite ( ) ^M _p _p _∈ _ converge vers 0 dans ( M _n (), ) si et seulement si CHAQUE SUITE R É ELLE ( ^x _p ( ) ^k ) _p _∈ _ ( k = 1 ,..., d ) converge vers 0.

I – Une relation d’équivalence sur C _I ^∞

On convient de dire que des fonctions f et g de C _I ^∞ « coïncident sur le spectre de A » lorsque : { r }

∀ , ^∀ ^k ^∈ { ⁰ ^,..., ^m _j ⁻ ¹ } ^, ^f ^{( )} ^k ( ) ^λ _j ⁼ ^g ^{( )} ^k ( ) ^λ _j . Ce que l’on résume par la notation f g

≡ A . Un exemple : si Π _A ( ) X = X ² ( X + 1 ) la notation f g

3. Soient _l dans  ^* , λ dans I et f dans C _I ^∞ vérifiant : f ^{( )} ^k ( ) λ = 0 pour k = 0 , 1 , 2 ,..., l − 1 . a) Établir l’identité : ( ) ( )

( ^u ) ^f ^{( )} ^u ^du x x

x ^x ( )

, 1 ^l ¹ ^l

∫ _λ l ⁻ ₋ ⁻

b) En déduire à l’aide d’un changement de variable, l’existence d’une fonction h vérifiant : (1) ∀ x ∈ I , f ( ) ( x = x − λ ) ( ) ^l h x

(2) h ∈ C _I ^∞ 4. Soient f et g dans C _I ^∞ .

a) On suppose : ∃ h ∈ C _I ^∞ , f = + Π g h _A .

≡ A ; en exploitant le 3. justifier l’existence de h dans C _I ^∞ vérifiant : f = + Π g h A .

(2) ∃ H ∈  [ ] X , P Q H = + Π _A .

A. On considère l’application ϕ de  m – 1 [ ] X vers  ^m qui associe à un polynôme P le m-uplet : ( ) ( ( ^{( )} ( ) 1 ) ₀ ₁ ,..., ( ^{( )} ^{( )} ) ₀ ₁ )

7. Soit f dans C _I ^∞ ; justifier l’existence d’un et d’un seul polynôme P _f de  [ ] X , de degré inférieur ou égal à ( m − 1 ) et tel que : _f

f ≡ . On convient alors de D É FINIR la matrice f ( ) A en posant : f ( ) A = P _f ( ) A .

∀ ^N

= ^N

9. I CI : ₂