Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation

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ECE 2 MATHEMATIQUES DS 9 - A - durée : 4h

25 mars 2020

Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Exercice I.

On noteEl’espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à 2.

On note e₀,e₁, e₂ les fonctions définies, pour tout réel x par e₀(x) = 1, e₁(x) = x et e₂(x) = x² et on rappelle queB= (e0, e1, e2)est une base deE.

Soit f l’application qui à toute fonction polynomiale P de E associe la fonction Q = f(P), oùQ est la dérivée seconde de l’application qui à tout réelxassocie x²−x

P(x).

1. a. Montrer quef est un endomorphisme deE.

b. Déterminerf(e0), f(e1),etf(e2)en fonction dee0, e1ete2.

c. En déduire que la matrice def dans la baseBestA=







2 −2 0

0 6 −6

0 0 12







d. Montrer sans calcul quefest un automorphisme deE.

2. a. Donner les valeurs propres def , puis en déduire quef est diagonalisable.

b. Déterminer les sous-espaces propres def.

3. a. Justifier l’existence dune matriceP inversible dont la première ligne ne contient que des 1 telle que

A=P D P⁻¹, oùD=







2 0 0

0 6 0

0 0 12





.

b. Montrer que :∀n∈N,Aⁿ=P DⁿP⁻¹ 4. a. Déterminer la matriceP⁻¹.

b. En déduire explicitement, en fonction den, la matriceAⁿ. c. On dit qu’une suite de matrices(M_n)_n∈

Ntend vers la matriceM, lorsquentend vers+∞, si chaque coefficient deMntend vers le coefficient situé à la même place dansM.

On poseB = 1

12A. Montrer que la suite(Bⁿ)_n∈_Ntend vers une matriceJ vérifiantJ² =J.

ECE 2 1/4 Lycée François Couperin

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25 mars 2020

Exercice II.

On considère l’applicationϕdéfinie surR^∗+par: ∀x∈R^∗+,ϕ(x) = xln (x)−1

x ,

ainsi que la fonction numériquef des variables réellesxetydéfinie par :

∀(x;y)∈]0; +∞[×]0; +∞[,f(x;y) = 1 x² − y

x +y² 2 +e⁻

1 x. I. Étude des zéros deϕ.

1. Déterminer la limite deϕ(x)lorsquextend vers0par valeurs positives.

Interpréter graphiquement cette limite.

2. Déterminer la limite deϕ(x)lorsquextend vers+∞et donner un équivalent deϕen+∞.

3. Justifier la dérivabilité deϕsurR^∗+et déterminer sa dérivée.

4. Dresser le tableau de variation deϕen faisant apparaitre les limites deϕen0⁺et+∞. 5. Prouver l’existence d’un unique réelα∈R^∗₊tel que :ϕ(α) = 0. Justifier queα ∈[1;e].

II. Étude d’une suite réelle.

On considère la suite(un)n∈Ndéfinie par la relation de récurrence suivante :

( u₀ = e

∀n∈N, un+1 = ϕ(un) +un

1. Démontrer que pour tout entiern,unexiste etun> α.

2. Si cette suite est convergente de limiteL, que peut valoirL? 3. Prouver que la suite(u_n)n∈Nest strictement croissante.

4. La suite(un)n∈Nest-elle convergente ?

5. Recopier et compléter le programme suivant afin qu’il affiche le plus petit entierntel queu_n>1000 function y=g(x)

y=******

endfunction u=exp(1);

n=0;

while ****

*****

****

end disp(n)

III. Extrema defsur]0; +∞[×]0; +∞[.

1. Justifier quefest de classeC² sur l’ouvert]0; +∞[×]0; +∞[.

2. Calculer les dérivées partielles premières def et prouver quef possède un unique point critique notéA d’abscisseαet d’ordonnéeyαà déterminer en fonction deα.

3. Calculer les dérivées partielles secondes defsur]0; +∞[×]0; +∞[et établir que∂_1,1² f(α;yα) = 2α+ 1 α⁵ . 4. La fonctionfprésente-t-elle un extrémum local enAsur l’ouvert]0; +∞[×]0; +∞[? Si oui, en donner sa nature (maximum ou minimum). (si l’on cherche à calculer les valeurs propres de la matrice Hessienne, on pourra poserx_α= 2α+ 1

α⁵ afin de simplifier l’expression de celles-ci)

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25 mars 2020

Exercice III.

Les tables de mortalité sont utilisées en démographie et en actuariat pour prévoir l’espérance de vie des individus d’une population. On s’intéresse dans ce problème à un modèle qui permet d’ajuster la durée de vie à des statistiques portant sur les décès observés au sein d’une génération.

Dans tout le problème, on note :

• aetbdeux réels strictement positifs ;

• (Ω,A, P)un espace probabilisé sur lequel sont définies toutes les variables aléatoires du problème ;

• G_a,bla fonction définie surR⁺par :G_a,b(x) = exp

−ax− b 2 x²

.

Partie I. Loi exponentielle linéaire

1. a. Montrer que la fonctionG_a,bréalise une bijection deR⁺sur l’intervalle]0,1].

b. Pour tout réely >0, résoudre l’équation d’inconnuex∈R:ax+b

2 x² =y

c. On noteG⁻¹_a,bla bijection réciproque deG_a,b. Quelle est, pour toutu∈[0,1[, l’expression deG⁻¹_a,b(1− u)?

2. a. Justifier la convergence de l’intégrale Z +∞

0

Ga,b(x)dx.

b. Soitf la fonction définie surRpar : f(x) = r b

2π ×exp

−1 2b

x+a

b 2

.

Montrer quefest une densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale dont on précisera les paramètres (espérance et variance).

c. Soit Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Déduire de la question 2) b, l’égalité :

Z +∞

0

G_a,b(x)dx= r2π

b ×exp a²

2b

×Φ

− a

√ b

3. Pour touta >0et pour toutb >0, on pose :f_a,b(x) =







(a+bx) exp

−ax−b 2x²

six≥0

0 six <0

a. Justifier quef_a,best une densité de probabilité.

On dit qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle linéaire de paramètresaet b, notéeE_`(a, b) si elle admetf_a,bpour densité.

b. SoitX une variable aléatoire suivant la loiE_`(a, b). À l’aide d’une intégration par parties, justifier queXadmet une espérance telle que : E(X) =

Z +∞

0

Ga,b(x)dx.

4. SoitY une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre1. On poseX = −a+√

a²+ 2bY

b .

a. Justifier que pour tout réelx∈R⁺, on a : P([X ≥x]) =G_a,b(x).

b. En déduire queXsuit une loiE_`(a, b).

c. On noteU une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur[0,1[. Déterminer la loi de la variable aléatoireG⁻¹_a,b(1−U).

5. La fonctionScilabsuivante génère des simulations de la loi exponentielle linéaire.

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25 mars 2020

(1) function x=grandlinexp(a,b,n) (2) u=rand(n,1)

(3) y= ....

(4) x=(-a+sqrt(a^2+2*b*y))/b (5) endfunction

a. Quelle est la signification de la ligne de code (2) ?

b. Compléter la ligne de code (3) pour que la fonctiongrandlinexpgénère les simulations désirées.

6. De quel nombre réel peut-on penser que les six valeurs générées par la boucleScilabsuivante fourni- ront des valeurs approchées de plus en plus précises et pourquoi ?

for k=1:6

mean(grandlinexp(0,1,10^k)) end

Dans la suite du problème, on note (X_n)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi exponentielle linéaireE_`(a, b)dont les paramètresa >0etb >0sont inconnus.

Soithun entier supérieur ou égal à2. On suit pendant une période dehannées une “cohorte" denindividus de même âge au début de l’étude et on modélise leurs durées de vie respectives à partir de cette date par les variablesX₁,X₂, . . ., Xn.

Partie II. Premier décès et intervalle de confiance dea

Pour toutn∈N^∗, on définit les variables aléatoiresM_n,H_netU_npar :

Mn= min(X1, X2, . . . , Xn), Hn= min(h, X1, X2, . . . , Xn) et Un=nHn

1. Calculer pour toutx∈R⁺, la probabilitéP([M_n≥x]). Reconnaître la loi de la variable aléatoireM_n. 2. Pour toutn∈N^∗, on noteFUn la fonction de répartition de la variable aléatoireUn.

a. Montrer que pour toutx∈R, on a :FUn(x) =











0 six <0

1−exp

−ax− b 2nx²

si0≤x < nh

1 six≥nh

b. Étudier la continuité de la fonctionF_U_n.

c. La variable aléatoireUnadmet-elle une densité ?

d. Montrer que la suite de variables aléatoires(U_n)n∈N^∗converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.

3. Soitα∈]0,1[.

a. SoitY une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre1.

Trouver deux réelscetdstrictement positifs tels que :

P([c≤Y ≤d]) = 1−α et P([Y ≤c]) = α 2

b. Montrer que c

U_n, d U_n

est un intervalle de confiance asymptotique de a, de niveau de confiance 1−α.