une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi telles que :

Soit ( ) ^X

ⁿ _{n∈ *}

une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi telles que :

( )

*,

_n

0 1

n P X p

∀ ∈ = = − et ^{P X} (

ⁿ

^{= = 1} ) ^p

où p est un réel dans 0 ;1

^⎤_⎦ ^⎡_⎣

.

On définit alors les suites ( ) ^Y

ⁿ _{n∈ *}

^, ( ) ^S

ⁿ _{n∈ *}

^et ( ) ^V

ⁿ _{n∈ *}

comme suit : pour tout entier naturel non nul n,

1

1 2

1 2

...

...

n n n

n n

n n

Y X X

S X X X

V Y Y Y

=

+

= + + +

= + + +

1. Pour tout entier naturel non nul n, calculer les espérances et les variances des variables aléatoires S

_n

et V

_n

.

2. Pour tout entier naturel non nul n, calculer la covariance des variables aléatoires S

_n

et V

_n

.

Analyse

Comme on peut (probablement …) s’y attendre, ce sont un calcul de variance (celui de la variable V_n) et celui de la covariance de la deuxième question qui sont les plus délicats. On doit cependant garder présent à l’esprit le fait que les X_n sont indépendantes et suivent la même loi de Bernoulli. De fait, elles sont d’un « maniement » relativement aisé.

Résolution

Question 1.

En utilisant la linéarité de l’espérance, il vient :

( ) (

1 2

) ( )

1 1

...

n n

n n k k

k k

E S E X X X E X E X

= =

⎛ ⎞

= + + + = ⎜ ⎟=

⎝

∑

⎠

∑

Les variables aléatoires X_k suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p, on a immédiatement : ∀ ∈p ^*,E X

( )

k = p (^{= × −0}

(

^{1 p}

)

^{+ ×1 p}). Il vient alors :

( ) ( )

1 1

n n

n k

k k

E S E X p np

= =

=

∑

=

∑

=

Remarque : on retrouve un résultat classique, la variable aléatoire S_n suivant, comme somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de même paramètre, une loi binomiale de paramètres n et p.

Les variables aléatoires X_k étant indépendantes, on a :

( ) (

1 2

) ( )

1 1

...

n n

n n k k

k k

V S V X X X V X V X

= =

⎛ ⎞

= + + + = ⎜⎝

∑

⎟⎠=

∑

Classiquement, on a cette fois : ∀ ∈p ^*,V X

( )

k = p

(

¹−p

)

(=E X

( )

k² −

(

E X

^{( )}

k

)

²=⁰²× −

(

¹ p

)

+ × −¹² p p²). Il vient alors :

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1

n n

n k

k k

V S V X p p np p

= =

=

∑

=

∑

− = −

Comme précédemment, on peut remarquer que l’on retrouve classiquement la variance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

( )

n

E S =np et V S

( )

n =np

(

¹−p

)

.

Comme précédemment :

( ) (

1 2

) ( )

1 1

...

n n

n n k k

k k

E V E Y Y Y E Y E Y

= =

⎛ ⎞

= + + + = ⎜ ⎟=

⎝

∑

⎠

∑

Pour tout entier naturel k, les variables aléatoires X_k et X_k+1 sont indépendantes. Il vient donc : E Y

( )

k =E X X

(

k k₊1

)

=E X

( ) (

k ×E Xk₊1

)

= × =p p p². Ainsi :

( ) ( )

^{2 2}

1 1

n n

n k

k k

E V E Y p np

= =

=

∑

=

∑

=

On a ensuite : V V

( )

n =E V

( )

n² −

(

E V

^{( )}

n

)

². Il nous faut donc calculer E V

( )

n² .

On a :

( )

²

( ⁽

^{1 2}

⁾

²

) ^{( ) ( )}

²

^{( )}

1 1 1 1

... 2

n

n n i j i j i i j

i j n i j n i i j n

E V E Y Y Y E Y Y E Y Y E Y E Y Y

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = ≤ < ≤

⎛ ⎞

= + + + = ⎜ ⎟= = +

⎝

∑

⎠

∑ ∑ ∑

Æ Calcul de

( )

²

1 n

i i

E Y

∑

=

On a Y_i² =X X_i² _i²₊₁.

Il est immédiat que pour tout entier naturel non nul i, la variable aléatoire X_i² suit la même loi que la variable aléatoire X_i.

Ensuite, les variables aléatoires X_i et X_i+1 ne prenant que les valeurs 0 ou 1, il en va de même pour la variable aléatoire Y_i².

Enfin, on note que l’on a : Y_i² = ⇔1 X X_i² _i²₊1= ⇔1 X X_{i i+}1= ⇔1

(

X_i =1 et

) (

X_i+1=1

)

. En tenant compte de l’indépendance des variables aléatoires X_i et X_i+1, il vient :

(

_i² 1

) ( ⁽

_i 1

^{) (}

_i1 1

⁾ ) ⁽

_i 1

^{) (}

_i1 1

⁾

² P Y = =P X = ∩ X₊ = =P X = ×P X₊ = = × =p p p Finalement, la loi de la variable aléatoire Y_i² est :

(

i^{2 1}

)

²

P Y = = p et P Y

(

i² =⁰

)

= −¹ p²

On en tire immédiatement : ^{E Y}

( )

^{i2 = p2} et, enfin :

( )

^{2 2 2}

1 1

n n

i

i i

E Y p np

= =

= =

∑ ∑

^.

Æ Calcul de

( )

1

i j i j n

E Y Y

≤ < ≤

∑

On a : Y Y_{i j} = X X_{i i+1}X X_{j j+1}.

Comme j≥ +i 1, on va distinguer deux situations suivant que l’on a j= +i 1 ou j> +i 1. Si j= +i 1, on a : Y Y_{i j} =Y Y_{i i+1}= X X_{i i+1}X_i+1X_{i+ +1 1}= X X_{i i}²₊₁X_i+2.

Ici encore, la variable aléatoire X X_{i i}²₊₁X_i+2 ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1.

On a : X X_{i i}²₊1X_i+2= ⇔1

(

X_i =1 et

) (

X_i+1=1 et

) (

X_i+2 =1

)

.

En tenant compte de l’indépendance des variables aléatoires X_i, X_i+1 et X_i+2, il vient :

( ) ( ^{( ) ( ) ( )} )

( ) ( ) ( )

2

1 2 1 2

1 2

3

1 1 1 1

1 1 1

i i i i i i

i i i

P X X X P X X X

P X P X P X

p p p p

+ + + +

+ +

= = = = =

= = × = × =

= × ×

=

∩ ∩

Finalement, la loi de la variable aléatoire X X_{i i}²₊₁X_i+2 est :

(

^{i i21 i 2 1}

)

³

P X X₊ X₊ = = p et ^{P X X}

(

^{i i2+1Xi+2 =0}

)

^{= −1 p3}

On en tire immédiatement : ^{E X X}

(

^{i i2+1Xi+2}

)

^{= p3.}

Comme i varie dans 1 ;n−1 , on a n−1 variables aléatoires de la forme X X_{i i}²₊₁X_i+2 et il vient finalement : ¹

(

1

)

¹

(

²1 2

)

^{1 3}

^{( )}

³

1 1 1

1

n n n

i i i i i

i i i

E YY E X X X p n p

− − −

+ + +

= = =

= = = −

∑ ∑ ∑

^.

Si 1j> +i , on a : YY_{i j} =X X_{i i+1}X X_{j j+1}.

Ici encore, la variable aléatoire X X_{i i+1}X X_{j j+1} ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1.

On a : ^{X Xi i+1X Xj j+1= ⇔1}

(

^{Xi =1 et}

) (

^{Xi+1=1 et}

) (

^{Xj =1 et}

) (

^Xj+1=1

)

^.

En tenant compte de l’indépendance des variables aléatoires X_i, X_i+1, X_j et X_j+1, il vient :

( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1 1

4

1 1 1 1 1

1 1 1 1

i i j j i i j j

i i j j

P X X X X P X X X X

P X P X P X P X

p p p p p

+ + + +

+ +

= = = = = =

= = × = × = × =

= × × ×

=

∩ ∩ ∩

Finalement, la loi de la variable aléatoire X X_{i i+1}X X_{j j+1} est :

(

_{i i}1 _{j j}1 1

)

⁴

P X X₊ X X ₊ = = p et P X X

(

_{i i+}1X X_{j j+}1=0

)

= −1 p⁴ On en tire immédiatement : E X X

(

i i₊1X Xj j₊1

)

= p⁴.

On a : 1≤ < ≤i j n et j> +i 1. Ainsi, i varie dans 1 ;n−2 et pour chaque valeur de i dans cet intervalle, on a n i− −1 valeurs possibles pour j : i+2,i+3, ...,n.

Le nombre de variables aléatoires de la forme X X_{i i+1}X X_{j j+1} avec j> +i 1 est donc égal à :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2

1 1

1 2 1 2

1 1 2 1 2

2 2

n n

i i

n n n n

n i n n i n n

− −

= =

− − − −

− − = − − − = − − − =

∑ ∑

Il vient donc :

( ) (

1 1

) ^{( )( )}

⁴

1 1

1 1

1 2

i j i i j j 2

i j n i j n

j i j i

n n

E Y Y E X X₊ X X ₊ p

≤ < ≤ ≤ < ≤

> + > +

− −

= =

∑ ∑

Finalement :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1

1

1 1 1

1 1

2

1 2 1 1

1 1

1

3 4

3 4

2 2 2

2 2

1 2

2 1 2

2

2 1 1 2

n

i j i i i j

i j n i i j n

j i n

i i i i i j j

i i j n

j i

E Y Y E Y Y E Y Y

E X X X E X X X X

n n

n p p

n p n n p

−

+

≤ < ≤ = ≤ < ≤

> +

−

+ + + +

= ≤ < ≤

> +

× = × + ×

= × + ×

− −

= − + ×

= − + − −

∑ ∑ ∑

∑ ∑

D’où :

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 2

1 1

2 3 4

2

2 1 1 2

n

n i i j

i i j n

E V E Y E Y Y

np n p n n p

= ≤ < ≤

= +

= + − + − −

∑ ∑

Et finalement :

( ) ( ) ( ^{( )} )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 3 4 2 2

2 3 4 2 4

4 3 2

2 2

2

2 1 1 2

2 1 1 2

3 2 2 1

3 2 2 1

1 3 2

n n n

V V E V E V

np n p n n p np

np n p n n p n p

n p n p np

p n p n p n

p p n p n

= −

= + − + − − −

= + − + − − −

= − + + − +

⎡ ⎤

= ⎣ − + + − + ⎦

= − ⎡⎣ − + ⎤⎦

On effectuer la factorisation en remarquant que 1 est racine évidente du trinôme

(

^{− +3n 2}

)

^p2+2

(

ⁿ⁻¹

)

^p+n ou en procédant classiquement à l’aide du discriminant (réduit).

( )

n ²

E V =np et V V

( )

n = p²

(

¹−p

) (

⎡⎣ ³n−²

)

p+n⎤⎦.

Question 2.

Pour tout entier naturel non nul n, on a : ^cov

(

S Vn^, n

)

=E S V

(

n n

)

−E S

( ) ( )

n E Vn . Il nous faut donc calculer E S V

(

n n

)

.

On a :

( )( )

(

¹1 ²2

)(

¹1 2² 2 3 1

)

2

1 2 1 2 3 1 1

1 termes

2 2

1 2 2 3 2 3 4 2 1

2 termes

1 2 2 3 2 1

2 termes

... ...

... ...

...

...

...

...

n n n n

n n n

n n

n

n n

n

n n n n n

n

S V X X X Y Y Y

X X X X X X X X X

X X X X X X X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X X X

+

+

−

+

−

− −

−

= + + + + + +

= + + + + + +

= + + +

+ + + +

+

+ + + +X_n−1X_n²+X X_n² _n+1

Dans cette somme comportant au total n² termes, il y a ^{n− +1}

(

^{n− × −1}

) (

^{n 2}

) (

^{= n−1}

)

²

termes de la forme X X X_{i j k} où tous les indices sont différents et ^{1 2+ × − =}

(

^{n 1}

)

^{2n−1 termes}

de la forme X X_i² _j avec i≠ j.

Traitons séparément ces deux situations.

Pour la variable aléatoire X X X_{i j k}, on a :

( ) ( ) ^{( )}

1 1 et 1 et 1

i j k i j k

X X X = ⇔ X = X = X = D’où, en tenant compte de l’indépendance des variables aléatoires X_n :

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

3

1 1 1 1

1 1 1

i j k i j k

i j k

P X X X P X X X

P X P X P X

p p p p

= = = = =

= = × = × =

= × ×

=

∩ ∩

Donc : ^{E X X X}

(

^{i j k}

)

^{= p3.}

Pour la variable aléatoire X X_i² _j, on a :

( ) ( )

2 1 1 et 1

i j i j

X X = ⇔ X = X =

D’où, en tenant compte de l’indépendance des variables aléatoires X_n :

( ) ( ^{( )} ( ) )

( ) ( )

2

2

1 1 1

1 1

i j i j

i j

P X X P X X

P X P X

p p p

= = = =

= = × =

= ×

=

∩

Donc : E X X

(

i² j

)

= p².

La linéarité de l’espérance nous donne alors :

(

n n

) (

¹

)

^{2 3}

(

^{2 1}

)

²

E S V = n− p + n− p Finalement :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2 3 2 2

2 2 3 2

3 2

2

cov ,

1 2 1

1 2 1

2 1 2 1

2 1 1

n n n n n n

S V E S V E S E V

n p n p np np

n n p n p

n p n p

n p p

= −

= − + − − ×

⎡ ⎤

=⎣ − − ⎦ + −

= − − + −

= − −

( ) ( )( )

²

cov S V_n, _n = 2n−1 1−p p