12 - Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles

Classe de 1ère

I - Variables aléatoires et loi de probabilité

Définition :

Soit Ωun univers associé à une expérience aléatoire, on appelle variable aléatoire X toute fonction définie sur Ωà valeurs dans IR

Exemple : Une urne contient 3 boules bleues, 4 boules vertes et 2 boules rouges.

On tire une boule de l’urne, l’ensemble des issues sont Ω={B;V;R}.

Si la boule tirée est verte, on gagne 3 euros, si la boule est rouge, on perd 2 euros et si elle est bleue, on perd 1 euro.

Il est alors possible de définir une fonction X qui à chaque issue deΩassocie le gain.

On a donc : X(V)=3, X(R)= −2 et X(B)= −1.

Définition :

Si X est une variable aléatoire sur un ensemble Ω et que x₁, x₂, ... ,x_n désignent les valeurs prises par X, on note (X =x_i) l’évènement «X prend la valeurx_i ».

On appelle alors loi de probabilité de la variable aléatoire X la fonction qui, à chaque x_i associe la probabilité p_i =p(X =x_i) pour 16_i 6_n.

Exemple : Dans l’exemple précédent, nous pouvons définir la loi de probabilité suivante pour la variable aléatoire X :

Remarque : p₁+p₂+....+p_n =1

Exemple : Dans l’exemple ci-dessus, on a :

p₁+p₂+p₃= 4 9+2

9+3 9 =1

II - Espérance, variance et écart-type

1) Espérance

Dans ce paragraphe, on considère une variable aléatoire X définie sur un ensemble Ω prenant les valeurs x₁, x₂, ... ,x_n et dont la loi de probabilité est donnée par les probabilités p_i =p(X =x_i) pour 16_i 6_n.

Définition :

On appelle espérance mathématiquede X le nombre :

E(X)=p₁x₁+p₂x₂+....+p_nx_n =

n

X

i=1

p_ix_i

Remarque : L’espérance est la moyenne des valeurs x_i pondérées par les probabilité p_i, elle repré- sente donc la valeur de laquelle va se rapprocher la moyenne des valeurs de X lors d’un grand nombre de répétition de l’expérience aléatoire.

Exemple : Dans notre exemple précédent, l’espérance vaut : E(X) = 4

9×3+2

9×(−2)+3

9×(−1)

= 5

≈ 0,559

On en déduit qu’une personne qui jouerait un très grand nombre de fois à ce jeu peut espérer

2) Variance et écart-type

Définition :

On appelle variancede X le nombre :

V(X)=p₁×(x₁−E(X))²+p₂×(x₂−E(X))²+....+p_n×(x_n−E(X))²=

n

X

i=1

p_i(x_i −E(X))²

L’écart-type de X est le nombre réel noté σ(X) tel que :

σ(X)=p

V(X)

Remarque : La variance représente la moyenne des carrés des écarts à l’espérance. Elle permet de mesurer la dispersion des valeurs prises par la variable aléatoire autour de son espérance.

Exemple : Reprenons, de nouveau l’exemple précédent, le calcul de la variance nous donne : V(X) = 4

9×(3−0,55)²+2

9×(−2−0,55)²+3

9×(−1−0,55)²

= 5 9

≈ 4,91 Et donc l’écart type σ(X)≈p

4,91≈2,22

3) Propriétés

Propriété : Soient a etb deux nombres réels, on définit une nouvelle variable aléatoireY =aX + b sur Ω. On a alors :

• E(Y)=aE(X)+b

• V(Y)=a²V(X)

• σ(Y)= |a|σ(X)

Propriété : Formule de König-Huygens

On aV(X)=p₁x₁²+p₂x₂²+...+p_nx_n²−(E(X))²

Remarques : • dans la pratique, on utilisera plutôt cette dernière formule pour calculer la va- riance d’une variable aléatoire

• les démonstrations de ces propriétés seront vues en exercices